Dwa okręgi \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_2}\) są wpisane w kąt o wierzchołku \(\displaystyle{ P}\). Okrąg \(\displaystyle{ o}\) jest styczny zewnętrznie do \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_2}\) w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Wykazać, że punkty \(\displaystyle{ P,A,B}\) są współliniowe.
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Dwa okręgi
-
H0t_Orange_B0i
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 9 cze 2020, o 10:49
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 9
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 4 razy
Re: Dwa okręgi
Chyba najwygodniej z inwersji udowodnić w tym przypadku współliniowość. Jeśli nie znasz teorii dotyczącej inwersji poszukaj czegoś w necie na temat tego geometrycznego przekształcenie.
Rozważmy inwersje o środku w \(\displaystyle{ P}\), zachowującą \(\displaystyle{ \omicron}\).
Skoro \(\displaystyle{ PA}\) i \(\displaystyle{ PB}\) przechodzą przez \(\displaystyle{ P}\) to się zachowają. Okręgi \(\displaystyle{ \omicron_{1}}\) i \(\displaystyle{ \omicron_{2}}\) są zdefiniowane przez styczność do półprostych \(\displaystyle{ PA}\),\(\displaystyle{ PB}\) i \(\displaystyle{ \omicron}\), czyli skoro
wszystkie te trzy obiekty się zachowają, to \(\displaystyle{ \omicron_{1}}\) i \(\displaystyle{ \omicron_{2}}\) jako para okręgów też się zachowa.
W związku z tym, że dalszy przechodzi na bliższy a bliższy na dalszy, \(\displaystyle{ \omicron_{1}}\) przejdzie na \(\displaystyle{ \omicron_{2}}\)
i na odwrót, czyli ich punkty styczności z \(\displaystyle{ \omicron}\), które jest stałe w tej inwersji, zamienią się
miejscami. Zatem obrazem inwersyjnym A jest B, czyli skoro punkt, jego obraz i środek
inwersji leżą na jednej prostej, to P, A, B współliniowe.
Rozważmy inwersje o środku w \(\displaystyle{ P}\), zachowującą \(\displaystyle{ \omicron}\).
Skoro \(\displaystyle{ PA}\) i \(\displaystyle{ PB}\) przechodzą przez \(\displaystyle{ P}\) to się zachowają. Okręgi \(\displaystyle{ \omicron_{1}}\) i \(\displaystyle{ \omicron_{2}}\) są zdefiniowane przez styczność do półprostych \(\displaystyle{ PA}\),\(\displaystyle{ PB}\) i \(\displaystyle{ \omicron}\), czyli skoro
wszystkie te trzy obiekty się zachowają, to \(\displaystyle{ \omicron_{1}}\) i \(\displaystyle{ \omicron_{2}}\) jako para okręgów też się zachowa.
W związku z tym, że dalszy przechodzi na bliższy a bliższy na dalszy, \(\displaystyle{ \omicron_{1}}\) przejdzie na \(\displaystyle{ \omicron_{2}}\)
i na odwrót, czyli ich punkty styczności z \(\displaystyle{ \omicron}\), które jest stałe w tej inwersji, zamienią się
miejscami. Zatem obrazem inwersyjnym A jest B, czyli skoro punkt, jego obraz i środek
inwersji leżą na jednej prostej, to P, A, B współliniowe.