Punkt P jest środkiem boku AD

[max123321]

Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AD}\), a punkt \(\displaystyle{ Q}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\) czworokąta wypukłego \(\displaystyle{ ABCD}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ 2PQ \le AB+CD}\). Wykazać, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) są równoległe.

Jak to zrobić? Myślałem nad tym z godzinę, ale nie widzę rozwiązania. Proszę o pomoc.

[Jan Kraszewski]

Ja bym spróbował tak pokombinować, żeby odcinek \(\displaystyle{ PQ}\) był odcinkiem łączącym środki boków pewnego trapezu, którego przynajmniej dwa wierzchołki są wspólne z czworokątem \(\displaystyle{ ABCD}\) (prowadząc pewne proste równoległe do prostej \(\displaystyle{ PQ}\)).

Wydaje mi się też, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są równoległe (sprawdź np. trapez niebędący równoległobokiem o podstawach \(\displaystyle{ AB, CD}\) - wtedy mamy równość, a Twój warunek nie zachodzi).

JK

[janusz47]

Zadanie możemy rozwiązać za pomocą wektorów. Dwukrotnie wyznaczamy wektor \(\displaystyle{ \vec{PQ} }\) jako sumę wektorów będących ramionami i podstawami czworokąta wypukłego. Dodajemy otrzymane równania stronami. Wektory ramion czworokąta się uproszczą. Są to wektory leżące na tej samej prostej o równej długości i przeciwnych zwrotach.

Równość zachodzi wówczas, gdy wektory \(\displaystyle{ \vec{AB} }\) i \(\displaystyle{ \vec{CD} }\) są równoległe.