Czy te trójkąty są przystające

[max123321]

Trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ PQR}\) spełniają warunki: środkowe \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ PT}\) są równe, kąt \(\displaystyle{ BAE}\) jest równy kątowi \(\displaystyle{ QPT}\) oraz kąt \(\displaystyle{ CAE}\) jest równy kątowi \(\displaystyle{ RPT}\). Czy z tego wynika, że trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ PQR}\) są przystające?

Nie wiem jak rozwiązywać tego typu zadania, spędziłem nad nim z godzinę, ale nie mam żadnego pomysłu jak to udowodnić albo obalić. Proszę o pomoc jak to zrobić?

[piasek101]

Poprowadzenie (na początek) wysokości z \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ E}\) na prostą \(\displaystyle{ AB}\) oraz analogicznie z \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ T}\) na prostą \(\displaystyle{ PQ}\) ma pomóc.

[max123321]

Nie no, za tępy jestem. Poprowadziłem te wysokości, ale jedyne co widzę, to to, że wysokość \(\displaystyle{ CF}\) jest dwa razy większa niż wysokość \(\displaystyle{ EG}\) i że odcinki \(\displaystyle{ FG}\) i \(\displaystyle{ GB}\) są równe. Nie wiem co dalej .

[piasek101]

Patrz na oba wyjściowe trójkąty - co można powiedzieć o wysokościach o których pisałem ?

[max123321]

Jedyne co umiem powiedzieć, to, że wysokości \(\displaystyle{ EF}\) z \(\displaystyle{ E}\) na \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ TS}\) z \(\displaystyle{ T}\) na \(\displaystyle{ PQ}\) są takiej samej długości, bo to wynika z przystawania trójkątów \(\displaystyle{ AEF}\) i \(\displaystyle{ PST}\), z cechy kbk. Nic jednak nie umiem powiedzieć o tych drugich wysokościach, które pewnie z jakichś powodów też są takie same. Proszę jeszcze o jakieś podpowiedzi bo jestem tępy.

[piasek101]

Teraz mylisz oznaczenia.

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) wysokości (o jakich pisałem, Ty wcześniej też) to \(\displaystyle{ CF}\) i \(\displaystyle{ EG}\), w tym drugim to \(\displaystyle{ RS}\) i \(\displaystyle{ TP}\).

\(\displaystyle{ |EG|=|TS|}\) bo kbk, zatem \(\displaystyle{ |CF|=|RS|}\).
Trójkąty \(\displaystyle{ ACF}\) oraz \(\displaystyle{ PRS}\) są prostokątne, mają jednakowe kąty i (na razie) po jednym takim samym boku.
Stąd wniosek ...

[max123321]

Ok, ale jednej rzeczy nie rozumiem. Na razie ustaliliśmy, że wysokości \(\displaystyle{ |EG|=|TP|}\), bo kbk, z tym się zgadzam, ale nie bardzo rozumiem jak z tego wynika, że \(\displaystyle{ |CF|=|RS|}\)?

EDIT:Aha dobra chyba rozumiem. To, że \(\displaystyle{ |CF|=|RS|}\) wynika chyba z Talesa bo odcinek \(\displaystyle{ |CB|}\) jest dwa razy większy niż \(\displaystyle{ |EB|}\), zatem\(\displaystyle{ |CF|}\) jest dwa razy większy niż \(\displaystyle{ |EG|}\), a odcinki \(\displaystyle{ |EG|}\) i \(\displaystyle{ |TP|}\) są sobie równe, zatem również odcinki \(\displaystyle{ |CF|}\) i \(\displaystyle{ |RS|}\) są sobie równe.

Dodano po 52 minutach 12 sekundach:
Teraz po przemyśleniu widzę jeszcze takie rzeczy: Trójkąty \(\displaystyle{ AFC}\) i \(\displaystyle{ PSR}\) są przystające z cechy kbk, zatem odcinki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ PR}\) są równe. Teraz jeśli byśmy całe to rozumowanie przeprowadzili dla wysokości z \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ E}\) na \(\displaystyle{ AC}\) oraz wysokości z \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ T}\) na \(\displaystyle{ PR}\) okazałoby się, że \(\displaystyle{ AB}\) jest równy \(\displaystyle{ PQ}\) przez analogię. Zatem teraz mamy \(\displaystyle{ AC=PR}\) i \(\displaystyle{ AB=PQ}\) i kąt \(\displaystyle{ CAB}\) jest równy kątowi \(\displaystyle{ RPQ}\) zatem z cechy bkb trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ PQR}\) są przystające co daje koniec dowodu tezy z zadania.

Czy tak jest dobrze?

[piasek101]

jest ok