Czy te trójkąty są przystające

[max123321]

Trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ PQR}\) spełniają warunki: \(\displaystyle{ BC = QR}\), kąt \(\displaystyle{ BAC }\) jest równy kątowi \(\displaystyle{ QPR}\), środkowe \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ PT}\) są
równe. Czy stąd wynika, że \(\displaystyle{ ∆ABC ≡ ∆PQR}\) ?

Proszę o pomoc w tym zadaniu. Siedziałem nad nim kilka godzin, ale nie potrafię, znaleźć ani kontrprzykładu, ani dowodu. Jak to zrobić?

[JHN]

Narysuj dwa trójkąty prostokątne, nieprzystające, o wspólnej przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ BC=QR}\). Czy spełniają Twoje założenia?

Pozdrawiam

Dodano po 8 godzinach 11 minutach 20 sekundach:
Postawmy problem:
Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), \(\displaystyle{ |\angle BCA|\ne 90^\circ}\), \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem \(\displaystyle{ \overline{AB}}\). Wykreśl \(\displaystyle{ \Delta ABD}\) taki, że \(\displaystyle{ |\angle BDA|=|\angle BCA|}\) i \(\displaystyle{ MD=MC}\).
Rozstrzygnięcie:
1. Na \(\displaystyle{ ABC}\) opiszmy okrąg, niech jego środkiem będzie \(\displaystyle{ S\ne M}\).
2. Aby zachodziła równość kątów, \(\displaystyle{ D}\) musi należeć do łuku \(\displaystyle{ AB}\) tego okręgu, zawierającego punkt \(\displaystyle{ C}\)
3. Aby zachodziła równość środkowych, \(\displaystyle{ D}\) musi należeć do okręgu o środku\(\displaystyle{ M}\)
4. Osią symetrii sumy okręgów jest prosta \(\displaystyle{ SM}\), w szczególności \(\displaystyle{ D}\) jest obrazem \(\displaystyle{ C}\) w tej symetrii

Pozdrawiam

[max123321]

Ok, dzięki, ten przykład z trójkątami prostokątnymi do mnie bardziej przemawia. Tego ogólnego rozwiązania nie bardzo rozumiem. Czy w efekcie nie dostaniemy po prostu trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) odbitego symetrycznie względem prostej \(\displaystyle{ SM}\), który będzie do niego przystający?

[JHN]

Czy w efekcie nie dostaniemy po prostu trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) odbitego symetrycznie względem prostej \(\displaystyle{ SM}\), który będzie do niego przystający?

Tak, te trójkąty są przystające

Pozdrawiam

[max123321]

To w takim razie nie rozumiem do końca. Z tego kontrprzykładu o trójkątach prostokątnych wnosimy, że istnieją dwa trójkąty spełniające warunki zadania, które nie są przystające. Zatem teza jest fałszywa. Co zatem starałeś się pokazać w tej części, która zaczyna się od "Postawmy problem" ?

[JHN]

Że jeżeli uzupełnimy założenia o

... \(\displaystyle{ |\angle BCA|\ne 90^\circ}\),...

to trójkąty są przystające

Pozdrawiam

[max123321]

Aha dobra to teraz rozumiem. Czyli, żeby te trójkąty były nieprzystające to kąt \(\displaystyle{ BCA}\) musi być prosty, zgadza się? Ciekawe swoją drogą, że tak jest.