Cięciwa o długości połowy długości łuku okręgu

[matmac75]

Witam ! Proszę o wyrozumiałość ponieważ jestem amatorem matematyki...troszkę sobie rozmyślam o okręgu ...wiadomo, że stosunek długości połowy okręgu do średnicy tego okręgu wynosi w przybliżeniu \(\displaystyle{ 1,57079}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)...gdy poprowadzimy taką cięciwę, że stosunek długości większej części okręgu do tej cięciwy będzie równy dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) to jaką część \(\displaystyle{ π}\) wynosi właśnie ta większa część okręgu ? Nie mam pojęcia jak to rozwiązać...

[pkrwczn]

Niech cięciwa przecina okrąg w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). \(\displaystyle{ C}\) to punkt leżący na dłuższej części okręgu. Kąt \(\displaystyle{ ACB}\) oznaczymy \(\displaystyle{ \gamma}\). \(\displaystyle{ S}\) to środek okręgu a \(\displaystyle{ r}\) promień. Kąt wpisany \(\displaystyle{ \gamma=ACB}\) i kąt środkowy \(\displaystyle{ ASB}\) oparte są na tej samej cięciwie, więc \(\displaystyle{ ASB=2 ACB=2\gamma}\). Długość cięciwy wyznaczamy z funkcji trygonometrycznych albo z twierdzenia kosinusów \(\displaystyle{ d^2=2r^2(1-cos {2\gamma})}\). Większa część okręgu wyznacza kąt \(\displaystyle{ 2\pi-2\gamma}\) więc jej długość wynosi \(\displaystyle{ l=\frac{2\pi-2\gamma}{2\pi} 2\pi r}\). Chcemy, żeby \(\displaystyle{ c=2d}\), co prowadzi do równania \(\displaystyle{ \gamma-\pi+\sqrt{2(1-\cos{2\gamma})}=0}\), które trzeba rozwiązać numerycznie, \(\displaystyle{ \gamma \approx 1,2461 }\). Długość łuku \(\displaystyle{ l=\left( 2\pi-2\gamma\right)r \approx 3,79 r \approx 1,207 \pi r}\).