Prostopadłość dwóch osi symetrii

[mela1015]

Wykaż, że jeśli figura płaska ma dokładnie dwie osie symetrii, to osie te są prostopadłe do siebie.

Jak to udowodnić, rozpisać?

[Psiaczek]

Nie jest to mój ulubiony dział matematyki, ale gdy raz Ci podpowiedziałem na innym forum , to podpowiem i tutaj bez wdawania się w szczegóły.

Jeżeli figura ma dwie nieprostopadłe osie symetrii, to można przy ich użyciu skonstruować trzecią oś symetrii różną od tych dwóch, trzeba rozważyć prostą symetryczną do jednej z tych osi względem drugiej, z uwagi na założenie o nieprostopadłości będzie to istotnie inna prosta (narysuj sobie).

Czyli jeżeli figura ma dokładnie dwie osie to muszą być prostopadłe.

[mela1015]

Ale tą zależność można pokazać tylko dla figur które mają więcej niż dwie osie symetrii. A co w przypadku gdybyśmy wzięli np. prostokąt - tutaj mamy dokładnie dwie osie symetrii, już nie dorysujemy kolejnej trzeciej.

Mam rozumieć, że chodzi tu o to by udowodnić, że jeśli te dwie osie symetrii nie byłyby prostopadłe to znajdziemy trzecia która już będzie prostopadła a jeśli nie znajdziemy trzeciej przekątnej to one będą prostopadłe?

[Psiaczek]

Jest to tego typu rozumowanie: Jeśli figura ma dwie nieprostopadłe osie symetrii to możemy skonstruować jeszcze przynajmniej jedną oś symetrii różną od nich, więc już nie będzie miała dokładnie dwóch osi bo będzie miała więcej.

A prostokąt który nie jest kwadratem ma dokładnie dwie osie symetrii prostopadłe i taka konstrukcja nie doprowadzi do nowej osi.

A jak weźmiesz kwadrat i jedną oś symetrii prostopadłą do boku a drugą przekątną tego kwadratu,czyli dwie osie nieprostopadle do siebie, to za pomocą tej konstrukcji co wyżej była mowa o niej uzyskasz jedną z pozostałych dwóch osi symetrii kwadratu - on ma ich 4.