Równoległobok, proste prostopadłe

[Corinek]

Mamy dany równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\) oraz pewien punkt wewnętrzny \(\displaystyle{ P}\) spełniający warunek \(\displaystyle{ \left| PC\right| = \left| BC\right| }\). Prosta \(\displaystyle{ L_{1} }\) przechodzi przez środki odcinków \(\displaystyle{ AP}\) oraz \(\displaystyle{ CD}\), zaś prosta \(\displaystyle{ L_{2}}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ P}\). Udowodnić, że te dwie proste są wzajemnie prostopadłe.

[matmatmm]

Niech \(\displaystyle{ E,F,G}\) będą środkami odcinków odpowiednio \(\displaystyle{ PB,AP,CD}\).

\(\displaystyle{ EF\parallel AB\parallel CG}\) oraz \(\displaystyle{ EF=\frac{1}{2}AB=CG}\). Stąd \(\displaystyle{ EFGC}\) jest równoległobokiem, czyli \(\displaystyle{ FG\parallel CE\perp PB}\).