Równoległobok, proste prostopadłe
Równoległobok, proste prostopadłe
Mamy dany równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\) oraz pewien punkt wewnętrzny \(\displaystyle{ P}\) spełniający warunek \(\displaystyle{ \left| PC\right| = \left| BC\right| }\). Prosta \(\displaystyle{ L_{1} }\) przechodzi przez środki odcinków \(\displaystyle{ AP}\) oraz \(\displaystyle{ CD}\), zaś prosta \(\displaystyle{ L_{2}}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ P}\). Udowodnić, że te dwie proste są wzajemnie prostopadłe.
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Równoległobok, proste prostopadłe
Niech \(\displaystyle{ E,F,G}\) będą środkami odcinków odpowiednio \(\displaystyle{ PB,AP,CD}\).
\(\displaystyle{ EF\parallel AB\parallel CG}\) oraz \(\displaystyle{ EF=\frac{1}{2}AB=CG}\). Stąd \(\displaystyle{ EFGC}\) jest równoległobokiem, czyli \(\displaystyle{ FG\parallel CE\perp PB}\).
\(\displaystyle{ EF\parallel AB\parallel CG}\) oraz \(\displaystyle{ EF=\frac{1}{2}AB=CG}\). Stąd \(\displaystyle{ EFGC}\) jest równoległobokiem, czyli \(\displaystyle{ FG\parallel CE\perp PB}\).