okręgi zewnetrznie styczne

[marika331]

Witam!
Mam problem z zadaniem:
Okręgi o promieniach \(\displaystyle{ 8}\) i \(\displaystyle{ 12}\) są zewnętrznie styczne. Przeprowadzono styczne do tych okręgów przechodzące przez środki tych okręgów.
Ze środka \(\displaystyle{ O_{1} }\) styczną do okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 12}\), a ze środka okręgu \(\displaystyle{ O_{2} }\) - styczną do okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 8}\). Obliczyć obwód czworokąta \(\displaystyle{ O_{1}O_{2}PR }\) gdzie \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ R}\) to punkty styczności.
Obliczyłam długości przekątnych i obwód stosując twierdzenie cosinusów. Da się to zrobić bez tego twierdzenia, gdy nie jest znane uczniom?

[janusz47]

Dlaczego twierdzenie kosinusów?

Nie wystarczy zastosować dwukrotnie twierdzenia Pitagorasa? Mamy dwa trójkąty prostokątne, z których składa się czworokąt.

[marika331]

Ale trójkąt \(\displaystyle{ O_{2} PR}\) nie jest prostokątny!

[janusz47]

Chodzi o czworokąt \(\displaystyle{ O_{1}R O_{2} P ?}\)

[marika331]

\(\displaystyle{ O_{1} O_{2}PR }\)

[janusz47]

Obliczamy długości stycznych - przekątnych czworokąta

\(\displaystyle{ |O_{1}P| = \sqrt{20^2 -12^2} = \sqrt{400 -144} = \sqrt{256} = 16, }\)

\(\displaystyle{ |O_{2}R| = \sqrt{20^2 - 8^2}= \sqrt{400 -64} = \sqrt{336}= 4\sqrt{21}. }\)

Czworokąt można wpisać w okrąg, bo suma miar jego przeciwległych kątów jest równa \(\displaystyle{ 180^{o}.}\)

Stosujemy twierdzenie Ptomeleusza:

"Jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to iloczyn długości jego przekątnych jest równy sumie iloczynów długości boków przeciwległych

\(\displaystyle{ |O_{1}P|\cdot |O_{2}R| = |O_{1}O_{2}|\cdot |PR| + |O_{1}R|\cdot |O_{2}P| }\)"

\(\displaystyle{ 16\cdot 4\sqrt{21} = 20 \cdot |PR| + 8\cdot 12 }\)

Stąd długość boku \(\displaystyle{ PR }\) czworokąta

\(\displaystyle{ |PR| = \frac{64\sqrt{21}-96}{20} =... }\)

Obwód \(\displaystyle{ O }\) czworokąta \(\displaystyle{ O_{1}O_{2}PR }\)

\(\displaystyle{ O = 20 + 12 + |PR| + 8 = 40 + |PR|= .... }\)

[marika331]

Dziękuję za rozwiązanie. Tylko teraz zastanawiam się- jak udowodnić, że suma przeciwległych kątów jest równa 180

[janusz47]

Mamy wykazać równości:

\(\displaystyle{ \alpha + \eta + 90^{o}+\delta = 180^{o} \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ \alpha + \beta +90^{o} + \varepsilon =180^{o} \ \ (2) }\)

Z trójkątnych prostokątnych

\(\displaystyle{ \tg(\alpha) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} }\)

\(\displaystyle{ \tg(\beta) = \frac{8}{12}= \frac{2}{3} }\)

\(\displaystyle{ \tg(\beta + \gamma) = \frac{16}{12}= \frac{4}{2} }\)

\(\displaystyle{ \tg(\alpha +\eta) = \frac{4\sqrt{21}}{8} = \frac{\sqrt{21}}{2} }\)

Z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie:

\(\displaystyle{ \alpha + \beta +\gamma = 90^{o} }\)

\(\displaystyle{ \varepsilon +\delta +\alpha + \beta = 0 }\)

\(\displaystyle{ \alpha + \eta + \beta = 90^{o} }\)

Proszę wykazać \(\displaystyle{ (1), \ \ (2) }\) na podstawie powyższych równości.

[marika331]

Taki dowód to nie dla licealisty. Myślę, że wystarczy warunek: czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg jeżeli kąty \(\displaystyle{ ADB}\) i \(\displaystyle{ ACB}\) są równe.