W prostokącie, który nie jest kwadratem

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

W prostokącie, który nie jest kwadratem

Post autor: max123321 »

W prostokącie, który nie jest kwadratem, poprowadzono dwusieczne kątów wewnętrznych i zewnętrznych. Udowodnij, że punkty przecięcia tych dwusiecznych są wierzchołkami kwadratu.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Oznaczmy prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) i niech \(\displaystyle{ |AB|>|BC|}\). Przecięcie dwusiecznych wewnętrznych poprowadzonych z punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ E}\), przecięcie dwusiecznych z \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ F}\). Przecięcie dwusiecznych z \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ G}\), przecięcie z \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) przez \(\displaystyle{ H}\). Zauważmy, że trójkąt \(\displaystyle{ AED}\) jest prostokątny, równoramienny i analogicznie trójkąt \(\displaystyle{ BCF}\) jest prostokątny, równoramienny. Poprowadźmy wysokości w tych trójkątach z punktów \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\). Spodki tych wysokości oznaczmy odpowiednio \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\). Zauważmy, że te dwie wysokości zawierają się w jednej prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\), bo odcinki \(\displaystyle{ DK}\) i \(\displaystyle{ CL}\) są równe i prosta \(\displaystyle{ EF}\) jest równoległa do ocinka \(\displaystyle{ CD}\). Zauważmy, że kąt \(\displaystyle{ KED}\) jest równy \(\displaystyle{ 45}\) stopni, zatem kąt \(\displaystyle{ HEF}\) też jest równy \(\displaystyle{ 45}\) stopni. Z analogicznych powodów kąty \(\displaystyle{ GEF,HFE,EFG}\) też są równe \(\displaystyle{ 45}\) stopni. W związku z tym trójkąty \(\displaystyle{ EFH}\) i \(\displaystyle{ EFG}\) są przystające co daje, że \(\displaystyle{ EHFG}\) jest kwadratem.

Teraz dla dwusiecznych zewnętrznych. Oznaczmy punkt przecięcia tych dwusiecznych najbliżej punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\) przez \(\displaystyle{ M}\), najbliżej \(\displaystyle{ C,D}\) przez \(\displaystyle{ O}\), najbliżej \(\displaystyle{ B,C}\) przez \(\displaystyle{ N}\) oraz najbliżej \(\displaystyle{ A,B}\) przez \(\displaystyle{ P}\). Zauważmy, że trójkąt \(\displaystyle{ ADM}\) jest prostokątny, równoramienny i wysokość z wierzchołka \(\displaystyle{ M}\) zawiera się w prostej \(\displaystyle{ EF}\). Analogicznie wysokość w trójkącie \(\displaystyle{ BNC}\) z wierzchołka \(\displaystyle{ N}\), zawiera się w prostej \(\displaystyle{ EF}\). Zauważmy teraz, że trójkąty \(\displaystyle{ MNO}\) i \(\displaystyle{ MPN}\) są równoramienne, prostokątne i przystające. Zatem \(\displaystyle{ MPNO}\) jest kwadratem.

Czy tak jest dobrze?
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: W prostokącie, który nie jest kwadratem

Post autor: Dilectus »

Wprawdzie nie sprawdzałem Twojego rozwiązania, ale wpadłem na pomysł, który - moim zdaniem - przynosi natychmiastowy dowód i to bez liczenia. Otóż odpowiednie dwusieczne kątów czworokąta przecinają się wzajemnie w sposób oczywisty pod kątem prostym, więc czworokąt przez nie utworzony jest prostokątem. Dodatkowo zauważmy, że jego przekątne przecinają się pod kątem prostym (dlaczego?). A prostokąt, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym, jest kwadratem, cbdo. :)
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: W prostokącie, który nie jest kwadratem

Post autor: max123321 »

W sumie to chciałem, aby ktoś sprawdził moje rozwiązanie, no ale ok, w takim razie jak uzasadnisz, że jego przekątne przecinają się pod kątem prostym?
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: W prostokącie, który nie jest kwadratem

Post autor: Dilectus »

Obie przekątne są równoległe do boków prostokąta, a więc wzajemnie prostopadłe, co wynika choćby z podobieństwa trójkątów i symetrii rysunku. :)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: W prostokącie, który nie jest kwadratem

Post autor: janusz47 »

Pan Piotr Ciupak wpadł na pomysł:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=avQu6kqcXZk
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: W prostokącie, który nie jest kwadratem

Post autor: matmatmm »

max123321 pisze: 1 paź 2020, o 23:21 Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Zauważmy, że te dwie wysokości zawierają się w jednej prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\), bo odcinki \(\displaystyle{ DK}\) i \(\displaystyle{ CL}\) są równe i prosta \(\displaystyle{ EF}\) jest równoległa do ocinka \(\displaystyle{ CD}\).
To uzasadnienie jest śriednio dobre. Ja bym napisał: Prosta \(\displaystyle{ KL}\) jest równoległa do podstaw jako prosta łącząca środki ramion trapezu. Dalej prosta \(\displaystyle{ KE}\) jest równoległa do podstaw, bo zarówno podstawy jak i ta prosta są prostopadłe do \(\displaystyle{ AD}\) (czyli kąty odpowiadające są równe). Stąd \(\displaystyle{ KE\parallel KL}\)(przechodniość relacji równoległości), więc prosta \(\displaystyle{ KE}\) równa się prostej \(\displaystyle{ KL}\) (są równoległe i mają punkt wspólny \(\displaystyle{ K}\)). Analogicznie dla punktu \(\displaystyle{ F}\).
W związku z tym trójkąty \(\displaystyle{ EFH}\) i \(\displaystyle{ EFG}\) są przystające co daje, że \(\displaystyle{ EHFG}\) jest kwadratem.
Wypadałoby napisać, że te trójkąty są prostokątne równoramienne.
max123321 pisze: 1 paź 2020, o 23:21 Zauważmy teraz, że trójkąty \(\displaystyle{ MNO}\) i \(\displaystyle{ MPN}\) są równoramienne, prostokątne i przystające.
Brakuje uzasadnienia, bo to co napisałeś to właściwie teza. Można to uzasadnić chyba na tysiąc sposobów, a ja właściwie nie wiem jakie jest twoje rozumowanie.

Ogólnie zadanie jest z gatunku tak oczywistych, że ciężko powiedzieć co tutaj wymaga głębszego uzasadnienia.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: W prostokącie, który nie jest kwadratem

Post autor: janusz47 »

Zadanie, to było na z maturze w 2015 roku i można je rozwiązać kilkoma sposobami. Jedno z najprostszych rozwiązań rysunkowych przedstawił Pan Piotr Ciupak w swojej Akademii Matematyki.

Nie zgadzam się z opinią, że zadanie to "pochodzi z gatunku zadań tak oczywistych".

Ta oczywistość jest spostrzegana wówczas, gdy znamy twierdzenia z geometrii płaskiej takie jak równość kątów wierzchołkowych, równość kątów z ramionami zgodnie równoległymi czy stwierdzenie, że jedynym czworokątem, w którym dwusieczne kątów wewnętrznych przecinają się po kątem prostym jest kwadrat i jeszcze inne.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: W prostokącie, który nie jest kwadratem

Post autor: kerajs »

max123321 pisze: 1 paź 2020, o 23:21 W prostokącie, który nie jest kwadratem, poprowadzono dwusieczne kątów wewnętrznych i zewnętrznych. Udowodnij, że punkty przecięcia tych dwusiecznych są wierzchołkami kwadratu.
Mam pytania do autora i odpowiadających w tym temacie:
1) Dlaczego pomijane są punkty przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych z dwusiecznymi kątów zewnętrznych (co w treści zadania to uzasadnia)?
2) Dlaczego rozważane są jedynie czworokąty \(\displaystyle{ EFGH}\) i \(\displaystyle{ MNOP}\) (oznaczenia wzięte z pierwszego postu), a pomijane inne, np: \(\displaystyle{ EPFO, EGOM}\) czy \(\displaystyle{ EONP}\) (i co w treści zadania to uzasadnia)?
Ostatnio zmieniony 4 paź 2020, o 11:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: W prostokącie, który nie jest kwadratem

Post autor: janusz47 »

Otrzymujemy dwa różne kwadraty - kwadrat wewnętrzny prostokąta, gdy rozpatrujemy tylko punkty przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych prostokąta jak w zadaniu maturalnym z roku 2015 lub kwadrat wewnętrzno- zewnętrzny prostokąta, gdy uwzględniamy punkty przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych i zewnętrznych prostokąta jak w tym zadaniu.

Wystarczy przeprowadzić dowód dla części wewnętrznej kwadratu (trójkąta prostokątnego) i zauważyć symetrię względem boku prostokąta.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: W prostokącie, który nie jest kwadratem

Post autor: kerajs »

janusz47 pisze: 4 paź 2020, o 15:08 Otrzymujemy dwa różne kwadraty - kwadrat wewnętrzny prostokąta, gdy rozpatrujemy tylko punkty przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych prostokąta jak w zadaniu maturalnym z roku 2015 lub kwadrat wewnętrzno- zewnętrzny prostokąta, gdy uwzględniamy punkty przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych i zewnętrznych prostokąta jak w tym zadaniu.
Super, lecz to w żaden sposób nie odpowiada na moje pytania. Co więcej, nawet nie jest to próbą odpowiedzi.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: W prostokącie, który nie jest kwadratem

Post autor: matmatmm »

Niech prostokąt będzie w dalszym ciągu prostokątem \(\displaystyle{ ABCD}\), gdzie \(\displaystyle{ AB>BC}\). Niech \(\displaystyle{ l_A,l_B,l_C,l_D}\) będą prostymi zawierającymi dwusieczne kątów wewnętrznych poprowadzonych odpowiednio z \(\displaystyle{ A,B,C,D}\), a \(\displaystyle{ k_A,k_B,k_C,k_D}\) będą prostymi zawierającymi dwusieczne kątów zewnętrznych poprowadzonych odpowiednio z \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) (można sprawdzić, że dla każdego wierzchołka dwusieczne obu kątów zewnętrznych są zawarte w jednej prostej). Dalej można udowodnić, że proste \(\displaystyle{ k_A,l_D,l_B,k_C}\) są równoległe i różne przy czym leżą one w takim porządku jak są wypisane. Analogicznie dla prostych \(\displaystyle{ k_B,l_C,l_A,k_D}\). Ponadto każda z prostych \(\displaystyle{ k_A,l_D,l_B,k_C}\) jest prostopadła do każdej z prostych \(\displaystyle{ k_B,l_C,l_A,k_D}\). Daje to dokładnie \(\displaystyle{ 16}\) punktów przecięcia licząc wszystkie dwusieczne kątów wewnętrznych i zewnętrznych oraz dwusieczne kątów wierzchołkowych do wewnętrznych prostokąta. Można sprawdzić, że punkty przecięcia \(\displaystyle{ l_A}\) z \(\displaystyle{ l_B}\), \(\displaystyle{ l_A}\) z \(\displaystyle{ l_D}\), \(\displaystyle{ l_B}\) z \(\displaystyle{ l_C}\) oraz \(\displaystyle{ l_C}\) z \(\displaystyle{ l_D}\) leżą na dwusiecznych kątów wewnętrznych wobec tego wszystkie \(\displaystyle{ 16}\) punktów przecięcia spełnia warunki zadania, z czego czterema tymi punktami są wierzchołki \(\displaystyle{ A,B,C,D}\).
Pozostaje policzyć ile powstało w ten sposób kwadratów. Przy założeniu, że \(\displaystyle{ AB\neq 2\cdot BC}\) naliczyłem \(\displaystyle{ 12}\) kwadratów. Przy założeniu, że \(\displaystyle{ AB=2\cdot BC}\) naliczyłem \(\displaystyle{ 20}\) kwadratów.

EDIT. Właściwie to trzeba sprawdzić, że wszyskie punkty przecięcia, które leżą na \(\displaystyle{ l_A,l_B,l_C,l_D}\) leżą na dwusiecznych kątów wewnętrznych, ale to też jest prawda.
ODPOWIEDZ