Na dwóch przeciwległych bokach równoległoboku odkładamy, poczynając od przeciwległych wierzchołków, dwa odcinki równej długości. Udowodnij, że prosta łącząca końce tych odcinków przechodzi przez środek symetrii równoległoboku.
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Oznaczmy równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\) i na bokach \(\displaystyle{ CD}\) zaznaczmy punkt \(\displaystyle{ E}\) oraz na boku \(\displaystyle{ AB}\) punkt \(\displaystyle{ F}\), tak, że \(\displaystyle{ |EC|=|AF|}\). Poprowadźmy odcinek \(\displaystyle{ |EF|}\) i zaznaczmy jego środek \(\displaystyle{ S}\). Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem symetrii równoległoboku. Zauważmy, że \(\displaystyle{ |AF|=|EC|}\) i \(\displaystyle{ |SF|=|SE|}\) i kąt \(\displaystyle{ AFS}\) równa się kątowi \(\displaystyle{ SEC}\), zatem trójkąty \(\displaystyle{ AFS}\) i \(\displaystyle{ SEC}\) są przystające, czyli \(\displaystyle{ |AS|=|SC|}\). Trzeba udowodnić, że \(\displaystyle{ AS}\) i \(\displaystyle{ SC}\) leżą na jednej prostej. Z przystawania trójkątów wynika, że kąt \(\displaystyle{ ASF}\) jest równy kątowi \(\displaystyle{ ESC}\), i wiemy, że kąt \(\displaystyle{ FSE}\) jest równy \(\displaystyle{ 180}\) stopni. Czyli kąt \(\displaystyle{ ASE}\) jest równy \(\displaystyle{ 180}\) stopni minus kąt \(\displaystyle{ ASF}\) i tyle samo jest równy kąt \(\displaystyle{ FSC}\), więc kąt \(\displaystyle{ ASC}\) i kąt \(\displaystyle{ ASE}\) są równe \(\displaystyle{ 180}\) stopni, czyli \(\displaystyle{ AS}\) i \(\displaystyle{ SC}\) leżą na jednej prostej i są równej długości, więc tworzą w sumie przektątną \(\displaystyle{ AC}\) równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\). Czyli \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem przekątnej czyli środkiem symetrii równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\).
Czy tak jest dobrze?