Trapez równoramienny.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Trapez równoramienny.

Post autor: Niepokonana »

Dzień dobry
Proszę o pomoc, bo nie umiem.
"Oblicz długość ramienia i pole trapezu równoramiennego o podstawach \(\displaystyle{ 10}\) i \(\displaystyle{ 6}\), jeżeli jego przekątna jest prostopadła do ramienia. "
Ja nie wiem, jak to zrobić.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Trapez równoramienny.

Post autor: a4karo »

Opuść wysokość z wierzchołka przy kącie prostym na dłuższą podstawę. Dostaniesz parę trójkątów podobnych
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Trapez równoramienny.

Post autor: kerajs »

Inaczej:
Kąt prosty jest kątem wpisanym opartym na półokręgu, więc dolna podstawa trapezu jest średnicą okręgu (o promieniu 5) opisanego na trapezie. Stąd wysokość wynosi ... , a ramię i przekątna ..... .
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Trapez równoramienny.

Post autor: Janusz Tracz »

Na stronie \(\displaystyle{ 8}\) w w punkcie Związki miarowe w trójkącie prostokątnym znajdziesz przydatną zależność (pierwszy wzór) pomiędzy wysokością trójkąta prostokątnego, a podziałem przeciwprostokątnej. Konkretnie chodzi o:

\(\displaystyle{ h_c^2=|AD| \cdot |DB|}\)

Rozszyfrowanie literek wymaga zajrzenia do wspomnianych tablic. Jego zastosowanie upraszcza znacząco zadanie. Polecam udowodnić też ten wzór (przykładowo twierdzeniem Pitagorasa).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Trapez równoramienny.

Post autor: a4karo »

Widzisz, dałem Ci wskazówkę, a koledzy uznali, że sobie z nią nie poradzisz. Traktują Cię jak blondynkę...
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Trapez równoramienny.

Post autor: Janusz Tracz »

@A4karo niezgodzie się. Traktuje Niepokonaną jako osobę dość sumienną która jest na tyle świadoma, że wykorzysta Twoją wskazówkę myśląc nad nią kreatywnie. Mało tego nie poprzestanie na tym i rozwiąże zadanie sposobem kerajsa. Ufam też, że przeczyta moją propozycję i podejmie próbę dowodu. Po takie próbie może zauważyć, że dowodzenie \(\displaystyle{ h_c^2=|AD| \cdot |DB|}\) za pomocą twierdzenia Pitagorasa jest długie i można to zrobić szybciej korzystając z Twojej propozycji. A po chwili zastanowienia może wpaść na to, że w ogóle cała nasz trójką mówi praktycznie o jednym i tym samym szczególnym przypadku

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Sieczna#Dla_%7F%27%22%60UNIQ--postMath-0000001E-QINU%60%22%27%7F_wewn%C4%85trz_okr%C4%99gu
. I taką drogę uważam za kształcącą.

PS mam po prostu cichą nadzieję, że Niepokonana traktuje zadania jak pewien pretekst to nauki twierdzeń, a nie jak coś co kończy się liczbowym wynikiem zgodnym lub nie z odpowiedzią w książce.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Trapez równoramienny.

Post autor: a4karo »

To ja odpadam, nie znam twierdzenia o siecznych w okregu.

A dowodzenie, że `h_c^2=...` z Pitagorasa jest dość banalne:

\(\displaystyle{ 0=|AB|^2-|AC|^2-|BC|^2=(|AD|+|DB|)^2-|AC|^2-|BC|^2=\red{|AD|^2+h_c^2-|AC|^2}+\blue{|DB|^2+h_c^2-|BC|^2}+2|AD||DB|-2h_c^2}\)

co kończy dowód, bo kolory są zerami na mocy tw. Pitagorasa
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Trapez równoramienny.

Post autor: janusz47 »

To zadanie nie wymaga stosowania twierdzenia o siecznych w okręgu.

Sposób 1
Jak zauważył a4karo wystarczy poprowadzić wysokość \(\displaystyle{ h }\) z wierzchołka kąta prostego i ułożyć proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów, z której obliczamy długość jednego z ramion trapezu.

Mając długość ramienia trapezu z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość trapezu i jego pole.

Sposób 2
Z twierdzenia o wysokości \(\displaystyle{ h }\) poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego (wynikającego z podobieństwa trójkątów) - obliczamy wysokość trapezu:

\(\displaystyle{ h^2 = 8\cdot 2 \rightarrow h = \sqrt{16} = 4. }\)

Obliczamy pole trapezu.

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość ramienia trapezu.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Trapez równoramienny.

Post autor: Niepokonana »

a4karo pisze: 17 wrz 2020, o 23:34 Widzisz, dałem Ci wskazówkę, a koledzy uznali, że sobie z nią nie poradzisz. Traktują Cię jak blondynkę...
I znowu, temat, którego ja nie rozumiem, więc ty mi dajesz taką wskazówkę, której ja nie potrafię wykorzystać, bo nie rozumiem tematu, po to, by się męczyć ze mną przez wiele stron i zarzucać mi, że ja oczekuję gotowców. Tak się możemy bawić, kiedy ja rozumiem dane zagadnienie i po prostu dane zadanie mi nie wychodzi. Może trochę moja wina, bo nie wspomniałam, że mam problem z geometrią i generalnie nie umiem.

Prawda jest taka, że po poście pana Kerajsa sobie przypomniałam tę zależność, co Pan Tracz napisał, dałam panu Kerajsowi lajka i zrobiłam zadanie, koniec problemu. Oczywiście, że będę się uczyć tych zadań, już to robię przecież, pan Tracz ma rację.

"Traktuje Niepokonaną jako osobę dość sumienną która jest na tyle świadoma, że wykorzysta Twoją wskazówkę myśląc nad nią kreatywnie." No w końcu ktoś mnie nie ma za idiotkę na tym forum.
"PS mam po prostu cichą nadzieję, że Niepokonana traktuje zadania jak pewien pretekst to nauki twierdzeń, a nie jak coś co kończy się liczbowym wynikiem zgodnym lub nie z odpowiedzią w książce."
To prawda.

Ok dziękuję panom za pomoc, koniec zadania.
ODPOWIEDZ