zygzak

[mol_ksiazkowy]

Punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D, E}\) są współokręgowe, (i \(\displaystyle{ ABCDE}\) jest łamaną) i takie, że kąty przy wierzchołkach \(\displaystyle{ D, C, D}\) są równe \(\displaystyle{ 45^\circ}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ AB^2+ CD^2 = BC^2+DE^2.}\)

[Bran]

Chodziło o wierzchołki \(\displaystyle{ B, \;C, \;D}\)?

Co do samego zadania, to nwm czy te odcinki nie są przystające do siebie... Ale żadnych większych pomysłów nie mam.

[kerajs]

Ech, szkoda że nie działa TikZ.

Niech punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D, E}\) leżą na okręgu o środku \(\displaystyle{ O=(0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ R}\).
Kąty w wierzchołkach \(\displaystyle{ B, C, D}\) oparte są na tych samych łukach co odpowiednie proste kąty środkowe.
Przyjmuję, iż \(\displaystyle{ B=(0,R)}\) i \(\displaystyle{ D=(R,0)}\).

1) Punkt \(\displaystyle{ C}\) należy do II ćwiartki. Rysuję średnicę prostopadłą do odcinka \(\displaystyle{ CO}\). Punkt \(\displaystyle{ A}\) (podobnie jak \(\displaystyle{ E'}\)) będzie końcem tej średnicy leżącym w III ćwiartce, a \(\displaystyle{ E''}\) końcem drugim.
Przyjmując że \(\displaystyle{ \angle BOC= \alpha}\) , to z twierdzenia kosinusów mam:
\(\displaystyle{ \left| AB\right|^2 =2R^2(1+\sin \alpha ) \\
\left| BC\right|^2 =2R^2(1-\cos \alpha ) \\
\left| CD\right|^2 =2R^2(1+\sin \alpha ) \\
\left| DE'\right|^2 =2R^2(1+\cos \alpha ) \\
\left| DE'\right|^2 =2R^2(1-\cos \alpha ) }\)
Dla łamanych \(\displaystyle{ ABCDE'}\) i \(\displaystyle{ ABCDE''}\) teza nie zachodzi.

2)
\(\displaystyle{ C=(-R,0) \ \ \Rightarrow E=(0,-R) \wedge ( \ A'=D \vee A''=E) \\
\left| A'B\right|^2 =2R^2 \\
\left| A''B\right|^2 =2R^2 \\
\left| BC\right|^2 =4R^2 \\
\left| CD\right|^2 =2R^2 \\
\left| DE\right|^2 =4R^2 }\)
Dla łamanych \(\displaystyle{ A'BCDE}\) i \(\displaystyle{ A''BCDE}\) teza nie zachodzi.


3) Punkt \(\displaystyle{ C}\) należy do III ćwiartki. Rysuję średnicę prostopadłą do odcinka \(\displaystyle{ CO}\). Punkt \(\displaystyle{ A''}\) (podobnie jak \(\displaystyle{ E'}\)) będzie końcem tej średnicy leżącym w IV ćwiartce, a \(\displaystyle{ E'' =A'}\) końcem drugim.
Przyjmując że \(\displaystyle{ \angle A'OB= \alpha}\) , to z twierdzenia kosinusów mam:
\(\displaystyle{ \left| A'B\right|^2 =2R^2(1-\cos \alpha ) \\
\left| A''B\right|^2 =2R^2(1+\cos \alpha ) \\
\left| BC\right|^2 =2R^2(1+\sin \alpha ) \\
\left| CD\right|^2 =2R^2(1+\cos \alpha ) \\
\left| DE'\right|^2 =2R^2(1+\cos \alpha ) \\
\left| DE'\right|^2 =2R^2(1-\sin \alpha ) \\
\left| DE''\right|^2 =2R^2(1+\sin \alpha ) \\ }\)
Z czterech możliwych łamanych tylko \(\displaystyle{ A'BCDE'}\) spełnia tezę.

4) \(\displaystyle{ C=(0, -R)}\)
Ten przypadek jest analogiczny do 2) i nie spełnia tezy.

5) \(\displaystyle{ C}\) należy do IV ćwiartki
Ten przypadek jest analogiczny do 1) i nie spełnia tezy.