Kąty w okręgu

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 218 razy
Pomógł: 7 razy

Kąty w okręgu

Post autor: Niepokonana » 3 wrz 2020, o 19:17

Dzień dobry
Proszę o pomoc, bo nie umiem zrobić mojej pracy domowej, mimo że zrobiłam rysunek.

"Na okręgu o środku \(\displaystyle{ O}\) obrano punkty: \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ CAB}\) przecina okrąg w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Oblicz miary kątów wewnętrznych czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\), jeśli miara kąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest równa \(\displaystyle{ 70^\circ}\), a kąta \(\displaystyle{ BCA}\) jest równa \(\displaystyle{ 50^\circ}\)"

https://imgur.com/a/ktGZ6OM

Umiem obliczyć kąt przy punkcie \(\displaystyle{ A}\), bo jest trójkąt i wystarczy odjąć od stu osiemdziesięciu dwa pozostałe kąty. Przy punkcie \(\displaystyle{ D}\) też umiem, bo leżą na wzajemnie uzupełniających się łukach. Ale na dwa pozostałe nie mam pomysłu.
Ostatnio zmieniony 3 wrz 2020, o 20:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6323
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1363 razy

Re: Kąty w okręgu

Post autor: janusz47 » 3 wrz 2020, o 20:09

Kiedy czworokąt można wpisać w okrąg (okrąg opisać na czworokącie)?

Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 218 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Kąty w okręgu

Post autor: Niepokonana » 3 wrz 2020, o 21:35

Kąty naprzeciwko muszą się sumować do stu osiemdziesięciu. Tylko niewiele mi to daje, bo te kąty, które muszę jeszcze wyliczyć, są naprzeciwko.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23177
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3160 razy

Re: Kąty w okręgu

Post autor: piasek101 » 3 wrz 2020, o 22:04

Istotnym okaże się zainteresowanie kątami trójkąta \(\displaystyle{ BCD}\) i oczywiście czworokąta wpisanego.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6323
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1363 razy

Re: Kąty w okręgu

Post autor: janusz47 » 3 wrz 2020, o 22:47

\(\displaystyle{ |\angle A| = 180^{o} - (50^{o}+ 70^{o}) = 60^{o} \ \ (1)}\) - suma miar kątów w trójkącie \(\displaystyle{ ABC.}\)

Układamy równania wynikające z Pani stwierdzenia, uzupełniając najpierw miarę kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ B }\) do \(\displaystyle{ 70^{o}+\beta, }\) przy wierzchołku \(\displaystyle{ C }\) do \(\displaystyle{ 50^{o} +\gamma.}\)

Wtedy otrzymamy

\(\displaystyle{ |\angle D| = 180^{o} - |\angle A| = 180^{o} - 60^{o} = 120^{o} \ \ (2)}\)

\(\displaystyle{ \gamma + \beta = 60^{o} }\) - proszę sprawdzić.

Obliczamy miary kątów \(\displaystyle{ \beta, \gamma }\) na podstawie równości miar kątów wpisanych opartych na tym samym łuku:

\(\displaystyle{ |\angle CAD| = 30^{o} = |\angle CBD| = \beta \ \ (3) }\) - kąty wpisane oparte na tym samym łuku \(\displaystyle{ CD. }\)

\(\displaystyle{ |\angle BAD| = 30^{o} = |\angle BCD| = \gamma \ \ (4) }\) - kąty wpisane oparte na tym samym łuku \(\displaystyle{ BD. }\)

Na podstawie \(\displaystyle{ (1), (2), (3), (4) }\)

\(\displaystyle{ |\angle A| = 60^{o}, \ \ |\angle B| = 70^{o}+\beta = 70^{o} + 30^{o} = 100^{o}, \ \ |\angle C| = 50^{o}+\gamma = 50^{o}+30^{o}= 80^{o}, \ \ |\angle D| = 120^{o}. }\)

Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1054
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 218 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Kąty w okręgu

Post autor: Niepokonana » 3 wrz 2020, o 23:22

Wiem, ale nie wiem, jak to wykorzystać. Czy skoro mamy dwusieczną, to \(\displaystyle{ BCD}\) jest równoramienny?

Dodano po 28 sekundach:
Panie Januszu, przeczytam Pański post jutro.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6323
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1363 razy

Re: Kąty w okręgu

Post autor: janusz47 » 4 wrz 2020, o 08:46

Trójkąt \(\displaystyle{ BCD }\) jest równoramienny.

Istotnym w tym zadaniu było zauważenie równości kątów wpisanych, na które dwusieczna podzieliła kąt \(\displaystyle{ A }\) czworokąta
z kątami wpisanymi \(\displaystyle{ \beta }\) i \(\displaystyle{ \gamma }\) tego trójkąta.

ODPOWIEDZ