Równoległoboki

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że równoległobok \(\displaystyle{ R}\) o kącie ostrym \(\displaystyle{ 45^{o}}\) i bokach \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{6} }\) jest podobny do równoległoboku, o wierzchołkach które są środkami boków \(\displaystyle{ R}\)

[kerajs]

Z twierdzenia kosinusów wyliczam przekątne R. Wynoszą one: \(\displaystyle{ d_1=2 \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ d_2=2 (1+ \sqrt{3}) }\).
Boki równoległoboku R' którego wierzchołkach są środkami boków R to połowy przekątnych R (więc \(\displaystyle{ a'= \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ b'=1+ \sqrt{3} }\) ), a przekątne R' to boki R (czyli \(\displaystyle{ d_1'=2 }\) i \(\displaystyle{ d_2'= \sqrt{2} (1+ \sqrt{3}) }\)).
Ponieważ stosunek boków i przekątnych R do odpowiednich boków i przekątnych R' jest stały (wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)) więc R i R' są podobne.