nierówność w czworokącie

[klimat]

Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) taki że \(\displaystyle{ |AB|=|AD|=1}\) oraz kąt \(\displaystyle{ |\angle BAD|=90^o}\). Niech \(\displaystyle{ CB=c, CA=b}\) oraz \(\displaystyle{ CD=a}\). Wykaż
że \(\displaystyle{ (a−c)^2\le 2b^2\le(a+c)^2}\).

[Janusz Tracz]

brutalne ale chyba działa:    

Niech \(\displaystyle{ A=\left( 0,0\right) }\), \(\displaystyle{ B=\left( 1,0\right) }\), \(\displaystyle{ C=\left( x,y\right) }\), \(\displaystyle{ D=\left( 0,1\right) }\) będą punktami takimi, że \(\displaystyle{ x,y>0}\) wtedy lewa nierówność jest równoważna z:

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{x^2+(y-1)^2} - \sqrt{(x-1)^2+y^2} \right)^2 \le 2\left( x^2+y^2\right) }\)

\(\displaystyle{ 0 \le 2\left( x^2+y^2\right)-\left( \sqrt{x^2+(y-1)^2} - \sqrt{(x-1)^2+y^2} \right)^2 }\)

\(\displaystyle{ 0 \le 2\left( \sqrt{x^2+(y-1)^2} \cdot \sqrt{(x-1)^2+y^2} +x+y-1 \right) }\)

\(\displaystyle{ 1-x-y \le \sqrt{x^2+(y-1)^2} \cdot \sqrt{(x-1)^2+y^2} }\)

jeśli \(\displaystyle{ 1-x-y \le 0}\) to koniec jeśli jednak \(\displaystyle{ 1-x-y>0}\) to nierówność można podnieść do kwadratu:

\(\displaystyle{ \left( 1-x-y\right)^2 \le \left( x^2+(y-1)^2\right) \cdot \left( (x-1)^2+y^2\right) }\)

\(\displaystyle{ 0 \le \left( x^2+(y-1)^2\right) \cdot \left( (x-1)^2+y^2\right) - \left( x+y-1 \right)^2 }\)

\(\displaystyle{ 0 \le \left( x^2-x+y^2-y\right)^2 }\)

co było do pokazania. Natomiast prawa nierówność to:

\(\displaystyle{ 2\left( x^2+y^2\right) \le \left( \sqrt{x^2+(y-1)^2} + \sqrt{(x-1)^2+y^2} \right)^2 }\)

\(\displaystyle{ 0 \le \left( \sqrt{x^2+(y-1)^2} + \sqrt{(x-1)^2+y^2} \right)^2 -2\left( x^2+y^2\right) }\)

\(\displaystyle{ 0 \le 2\left( \sqrt{x^2+(y-1)^2} \cdot \sqrt{(x-1)^2+y^2} -x-y+1 \right)}\)

\(\displaystyle{ -1+x+y \le \sqrt{x^2+(y-1)^2} \cdot \sqrt{(x-1)^2+y^2}}\)

A dalej jest dokładnie tak samo jak wcześniej. Nie trzeba jednak już nic pisać bo \(\displaystyle{ \left( -1+x+y\right)^2= \left( 1-x-y\right)^2 }\) więc przypadek ten jest symetryczny. Co było do pokazania.