Poproszę o pomoc ~~ Trapez opisany na kole, obliczenie pola ~~

[AMzK]

Na kole o promieniu \(\displaystyle{ r}\) opisano trapez prostokątny, którego mniejsza podstawa jest równa \(\displaystyle{ \frac23r}\). Oblicz pole trapezu.

Widziałam podobne zadanie, ze zmienioną długością podstawy (\(\displaystyle{ \frac32}\)), jednak nawet jak opieram się na nim, pole cały czas wychodzi mi na minusie (\(\displaystyle{ -r}\)).
Poprosiłabym o rozwiązanie tego zadania, żebym mogła zobaczyć co robię źle.

[piasek101]

To Ty pokazujesz jak robisz - my podpowiadamy gdzie masz błędy.

Co do zadania - połączyć środek okręgu z wierzchołkami trapezu, dorysować wysokości czterech zobaczonych trójkątów. Podawać co się zobaczyło, albo pytać.

[edit]
Teraz obejrzałem lepiej (chciałem rozwiązać) - zadanie jest z błędem. Krótsza podstawa musi być dłuższa od \(\displaystyle{ r}\).

[Ringo]

Próbowałem rozwiązać to zadanie w wersji, w której krótsza podstawa jest równa \(\displaystyle{ \frac32r}\), ale też nie mogę dojść do wyniku. Jakie twierdzenia trzeba tu zastosować? Co nam daje informacja, że jest to trapez prostokątny?

Pozdrawiam,
Darek

[piasek101]

Co do zadania - połączyć środek okręgu z wierzchołkami trapezu, dorysować wysokości czterech zobaczonych trójkątów. Podawać co się zobaczyło, albo pytać.

[kruszewski]

Proszę zauważyć podobieństwo kolorowych trójkątów.

[Dilectus]

Na kole o promieniu \(\displaystyle{ r}\) opisano trapez prostokątny, którego mniejsza podstawa jest równa \(\displaystyle{ \frac23r}\). Oblicz pole trapezu.

Spróbuj to narysować, a zobaczysz, że się nie da. Masz jakiś błąd w treści zadania. Czworokąt wypukły można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe.
Prawdopodobnie krótsza podstawa trapezu ma być równa \(\displaystyle{ \frac{3}{2}r }\). W każdym razie krótsza podstawa trapezu prostokątnego opisanego na okręgu musi być dłuższa od promienia tego okręgu.

[Jan Kraszewski]

A ja myślę, że pytanie było tylko pretekstem do umieszczenia linku reklamowego w podpisie...

JK

[piasek101]

Prawdopodobnie krótsza podstawa trapezu ma być równa \(\displaystyle{ \frac{3}{2}r }\).

Przecież od razu o tym pisałem.

[Dilectus]

Do obliczenia pola trapezu potrzebna Ci długość podstawy ( bo długość krótszej podstawy i wysokość znasz). Żeby ją obliczyć, znajdź długość boku trapezu nieprostopadłego do podstawy i skorzystaj z twierdzenia, które podałem wyżej. Cytuję:

Czworokąt wypukły można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe.

[janusz47]

Czy na pewno ? A skąd znadź, długość boku trapezu nieprostopadłego do jego podstawy?

Dodano po 4 godzinach 9 minutach 17 sekundach:
\(\displaystyle{ |P| = \frac{1}{2}( a + b)\cdot h }\)

Jeśli wykonamy starannie rysunek i skorzystamy ze wskazówki piaska101 oraz z twierdzenia o równości stycznych poprowadzonych z punktów leżącego poza okręgiem (wierzchołków trapezu), to pole trapezu możemy zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ |P| = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}r + x + \frac{3}{2}r \right)\cdot 2r = \frac{1}{2}\left( 3r + x \right)\cdot 2r \ \ (1)}\)

gdzie

\(\displaystyle{ a = \frac{3}{2}r + x. }\)

\(\displaystyle{ x = |DB| }\) - jest odległością rzutu wierzchołka \(\displaystyle{ C }\) trapezu na dolną podstawę od wierzchołka \(\displaystyle{ B. }\)

\(\displaystyle{ b = \frac{3}{2}r }\) - długością górnej podstawy,

\(\displaystyle{ h =|CD| = 2r }\) - wysokością trapezu.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ CDB }\) wynikają równania:

\(\displaystyle{ |DB|^2 + |CD|^2 = |CB|^2.}\)

\(\displaystyle{ x^2 + (2r)^2 = \left(\frac{1}{2}r + x + \frac{1}{2}r \right)^2 }\)

\(\displaystyle{ x^2 + 4r^2 = (r +x)^2 }\)

\(\displaystyle{ x^2 +4r^2 = r^2 + 2rx + x^2 }\)

\(\displaystyle{ x = \frac{3}{2} r \ \ (2) }\)

Po podstawieniu \(\displaystyle{ (2) }\) do \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ |P| = \frac{1}{2} \left( 3r + \frac{3}{2} r \right) \cdot 2r = \frac{9}{2}r^2. }\)

[piasek101]

No to podam do końca moje - trochę krótsze.
Dłuższe ramię ma \(\displaystyle{ 0,5r+x}\) gdzie (x) to odległość punktu styczności tego ramienia (z okręgiem) od wierzchołka kąta ostrego trapezu.
Wtedy dłuższa podstawa trapezu to \(\displaystyle{ r+x}\)
Zachodzi ( z trójkąta prostokątnego - środek okręgu, końce dłuższego ramienia trapezu) : \(\displaystyle{ r^2=0,5r\cdot x}\) (z tego mamy (x))

A pole to \(\displaystyle{ P=0,5(1,5r+r+x)\cdot 2r}\).

[Dilectus]

Czy na pewno ? A skąd znadź, długość boku trapezu nieprostopadłego do jego podstawy?

Z twierdzenia Pitagorasa. Oznaczmy dłuższą podstawę prze \(\displaystyle{ x}\), bok nieprostopadły do podstaw przez \(\displaystyle{ y}\), a krótszą podstawę przez \(\displaystyle{ b}\) i popatrzmy na trólkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna to \(\displaystyle{ y}\), pierwsza przyprostokątna ma długość [lurl]2r[/lurl]druga przyprostokątna ma długość [lurl]x-b[/lurl]
Mamy wówczas

\(\displaystyle{ y^2=(x-b)^2+ (2r)^2}\)

drugie równanie wynika z twierdzenia które znów przytoczę

Czworokąt wypukły można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe.

Rozwiązanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi odpowie na pytanie o długości zarówno podstawy, jak i boku nieprostopadłego do podstaw.

A jak już mamy dwie podstawy i wysokość tego trapezu, to z dziecinną łatwością obliczymy jego pole.

[janusz47]

Dilectus szkoda, że w Pańskiej podpowiedzi nie pojawiło się twierdzenie Pitagorasa?
Proszę poprawić swój Latex.

[kruszewski]

Z podobieństwa trójkątów (vide posting.php?mode=reply&f=36&t=446658#pr5614504)
przy oznaczeniu:
\(\displaystyle{ x= b-r}\); \(\displaystyle{ y= a-r}\); oraz \(\displaystyle{ k= \frac{b}{r}}\) , gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest miarą dłuższej zaś \(\displaystyle{ b}\) krótszej podstawy trapezu, możemy napisać:
\(\displaystyle{ \frac{x}{r} = \frac{r}{y}}\) i używając oznaczeń jw. napisać:
\(\displaystyle{ y = \frac{r^2}{r(k-1)} = \frac{r}{k-1} }\)
Wtedy dla \(\displaystyle{ b = \frac{3}{2} r }\) i \(\displaystyle{ k= \frac{3}{2} - 1= \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ y = \frac{r}{ \frac{1}{2} } = 2r}\) ; \(\displaystyle{ a = r+ y= 3r}\). \(\displaystyle{ b = \frac{3}{2} r}\) i wysokości trapezu \(\displaystyle{ h=2r}\)

Pole tego trapezu \(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} r \left( (3+ \frac{3}{2}) \right) \cdot 2r = \frac{9}{2} r^2}\)