Pchła na okręgu

[mol_ksiazkowy]

Pchła skacze po brzegu koła i chce przemieszczać się na dowolny inny punkt na nim, ale może robić tylko równe skoki. Kiedy jest to możliwe ?

[Szustarol]

Zakładając, że pchła zaczyna w punkcie \(\displaystyle{ (x_0, y_0)}\) leżącym na brzegu koła o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\),
a chce dojść do punktu \(\displaystyle{ (x_1, y_1)}\), również na brzegu koła:
Możemy te pozycje opisać za pomocą kąta od osi OX, czyli pozycja początkowa:
\(\displaystyle{ S_p = r(\cos \theta_0, \sin \theta_0) }\)
Pozycja końcowa:
\(\displaystyle{ S_k = r(\cos \theta_1, \sin \theta_1) }\)


Każdy ze skoków efektywnie przesuwa pchłę o kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) w jednym z kierunków,
załóżmy, że zostało wykonane \(\displaystyle{ n}\) skoków, to pozycja pchły wygląda tak:

\(\displaystyle{ S = r(\cos (\theta_0 + n \varphi), \sin (\theta_0 + n \varphi)) }\)

Rozwiązanie istnieje, jeśli istnieje takie n naturalne, że odległość między punktami \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ S_k}\) wynosi 0:

\(\displaystyle{ D_{S \to S_k} = \sqrt{(r \cos (\theta_0 + n \varphi)- r\cos(\theta_1))^2 + (r \sin (\theta_0 + n \varphi)- r\sin(\theta_1))^2} = 0}\)
\(\displaystyle{ (\cos (\theta_0 + n \varphi)- \cos(\theta_1))^2 + (\sin (\theta_0 + n \varphi)- \sin(\theta_1))^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ \cos^2 (\theta_0 + n \varphi) -2\cos (\theta_0 + n \varphi)\cos(\theta_1) + \cos^2(\theta_1) + \sin^2 (\theta_0 + n \varphi) -2\sin (\theta_0 + n \varphi)\sin(\theta_1) + \sin^2(\theta_1) = 0 }\)
Warto na tym etapie zauważyć dwie jedynki trygonometryczne:
Po dalszych przekształceniach:
\(\displaystyle{ 1 = \cos (\theta_0 + n \varphi)\cos(\theta_1) + \sin (\theta_0 + n \varphi)\sin(\theta_1) }\)
Korzystam z tożsamości trygonometrycznej na cosinus różnicy;
\(\displaystyle{ 1 = \cos(\theta_0 + n \varphi - \theta_1)}\)

A więc:
\(\displaystyle{ \theta_0 + n \varphi - \theta_1 = 2k \pi }\)
\(\displaystyle{ n = {{2k \pi + \theta_1 - \theta_0} \over \varphi}}\)

Koniec końców zadanie jest spełnialne, jeśli dla parametrów zadania istnieje takie k, że wartość
\(\displaystyle{ {{2k \pi + \theta_1 - \theta_0} \over \varphi}}\)
Jest liczbą naturalną.

W zasadzie można tą własność wyprowadzić "doświadczalnie" - chcemy pokryć różnicę odległości kątowej skokami długości \(\displaystyle{ \varphi}\) z ewentualnymi obrotami wokół koła, za co odpowiada czynnik \(\displaystyle{ 2k\pi}\)

[a4karo]

A jednym skokiem nie może?

Szczerze mówiąc nie rozumiem jakie są założenia w tym zadaniu. Jeżeli skok pchły ma ustaloną długość, to przemieścic sie może do przeliczalnej lub skończonej ilosci punktów zależnie od tego, czy długośc skoku jest współmierna z `\pi`, czy nie. Jeżeli długośc skoku może w każdym eksperymencie się zmieniać, to dotrzeć można do każdego punktu