zbiór mandelbrota

[login1977]

Wewnątrz koła mamy dany zbiór wyjściowy. Znajdujemy jego lustrzane odbicie i obracamy o pewien kąt. Nakładamy na siebie zbiór wyjściowy i lustrzane odbicie obrócone o pewien kąt. Otrzymujemy część wspólną i sumę tych dwóch zbiorów. Jak wygląda zbiór wyjściowy jeżeli jako część wspólną otrzymaliśmy zbiór Mandelbrota? (a jak jeżeli jako sumę?) Dopuszcza się nakładanie zbioru wyjściowego ze zbiorami otrzymanymi jako lustrzane odbicie i obróconymi wiele razy o pewien kąt.

[Dasio11]

Czy przez "lustrzane odbicie" rozumiesz symetrię względem prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i czy obrót jest wokół początku?

[login1977]

Środek koła może być początkiem układu współrzędnych. Symetria jest względem prostej zawierającej średnicę koła. Obrót jest wokół początku.

[Dasio11]

W takim razie opisana operacja lustrzanego odbijania a potem obracania o pewien kąt - to nadal symetria, tyle że potencjalnie względem innej prostej. Oznaczmy tę operację przez \(\displaystyle{ F}\), a wspomnianą prostą przez \(\displaystyle{ \ell}\).

Pytanie jest o zbiór \(\displaystyle{ X}\), taki że \(\displaystyle{ X \cap F[X]}\) jest równy zbiorowi Mandelbrota \(\displaystyle{ M}\). Ponieważ \(\displaystyle{ F}\) jest bijekcją, której dwukrotne złożenie jest identycznością, mamy

\(\displaystyle{ F[M] = F[X \cap F[X]] = F[X] \cap F[F[X]] = F[X] \cap X = M}\),

czyli mówiąc prosto: zbiór Mandelbrota jest symetryczny względem \(\displaystyle{ \ell}\). A zatem owa prosta musi być osią OX.

Dalej: ustalmy teraz dowolny punkt \(\displaystyle{ m}\). Jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest punktem w zbiorze Mandelbrota, to \(\displaystyle{ m \in F[X] \cap X}\), czyli \(\displaystyle{ m \in X}\) i \(\displaystyle{ F(m) \in X}\). Jeśli zaś \(\displaystyle{ m}\) nie należy do zbioru Mandelbrota, tj. \(\displaystyle{ m \notin F[X] \cap X}\), to przynajmniej jeden z punktów \(\displaystyle{ m, F(m)}\) nie należy do \(\displaystyle{ X}\).

Powyższy opis charakteryzuje wszystkie zbiory \(\displaystyle{ X}\) o szukanej własności.