Trapez stosunek podstaw
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 21 sty 2020, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 14 razy
Trapez stosunek podstaw
Dzień dobry
Dostałem takie zadanie, pole trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC }\) \(\displaystyle{ (AD > BC)}\) jest równe \(\displaystyle{ 48}\).
Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu.
Pole trójkąta \(\displaystyle{ AOB}\) jest równe \(\displaystyle{ 9}\).
Wyznaczyć stosunek długości \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) podstaw trapezu.
Proszę o pomoc, jestem w stanie tylko pokazać, że trójkąt \(\displaystyle{ AOC}\) jest podobny do \(\displaystyle{ BOC}\), ale później nie wiem co dalej, bo dostaje równania ze zbyt dużo ilością niewiadomych. Czy ktoś mógłby mi to zadanie wyjaśnić, przynajmniej jak je ugryźć.
Dostałem takie zadanie, pole trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC }\) \(\displaystyle{ (AD > BC)}\) jest równe \(\displaystyle{ 48}\).
Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu.
Pole trójkąta \(\displaystyle{ AOB}\) jest równe \(\displaystyle{ 9}\).
Wyznaczyć stosunek długości \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) podstaw trapezu.
Proszę o pomoc, jestem w stanie tylko pokazać, że trójkąt \(\displaystyle{ AOC}\) jest podobny do \(\displaystyle{ BOC}\), ale później nie wiem co dalej, bo dostaje równania ze zbyt dużo ilością niewiadomych. Czy ktoś mógłby mi to zadanie wyjaśnić, przynajmniej jak je ugryźć.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Trapez stosunek podstaw
Wykazanie podobieństwa trójkątów popraw , to już połowa sukcesu w rozwiązaniu zadania. Jakich trójkątów?
Co powiemy o polu trójkąta \(\displaystyle{ BOC }\)
Co powiemy o stosunku pól figur podobnych?
Co powiemy o polu trójkąta \(\displaystyle{ BOC }\)
Co powiemy o stosunku pól figur podobnych?
Ostatnio zmieniony 28 mar 2020, o 16:21 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 21 sty 2020, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 14 razy
Re: Trapez stosunek podstaw
\(\displaystyle{ \frac{ P_{1} }{P_{2}} =k ^{2} }\), ale to mi nic nie dało. A czy można w jakiś sposób pokazać, że trójkąt \(\displaystyle{ AOB}\) jest podobny do \(\displaystyle{ COD}\)? Ja więcej związków nie widzę, chyba, że nie tędy droga?
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Trapez stosunek podstaw
W każdym trapezie \(\displaystyle{ \Delta AOB \sim \Delta COD }\) na podstawie cechy podobieństwa trójkątów " kąt-kąt-kąt"
Kąty przy wierzchołku \(\displaystyle{ O }\) są równe, jako kąty wierzchołkowe i kąty przy podstawach trapezu mają równe miary jako kąty naprzemianległe wewnętrzne przy dwóch prostych równoległych zawierających podstawy trapezu przeciętych prostymi, zawierającymi jego przekątne.
Kąty przy wierzchołku \(\displaystyle{ O }\) są równe, jako kąty wierzchołkowe i kąty przy podstawach trapezu mają równe miary jako kąty naprzemianległe wewnętrzne przy dwóch prostych równoległych zawierających podstawy trapezu przeciętych prostymi, zawierającymi jego przekątne.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Trapez stosunek podstaw
Jeden ze sposobów rozwiązania zadania
W dowolnym trapezie suma pól trójkątów \(\displaystyle{ P = P_{1}+ P_{2} + P_{3} + P_{4} = (\sqrt{P_{1}} + \sqrt{P_{2}})^2 \ \ (1)}\) potrafisz pokazać ?
\(\displaystyle{ P_{1} + P_{2} = P - (P_{3} + P_{4}) \ \ (2) }\)
\(\displaystyle{ P_{3} = P_{4} \ \ (3) }\)
Z równń \(\displaystyle{ (1), (2), (3) }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} P_{1} + P_{2} = 30 \\ 48 = 30 + 2\sqrt{P_{1}P_{2}} \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ P_{1} = 27, \ \ P_{2} = 3 }\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{27}{3} = 9 = k^2 }\)
\(\displaystyle{ k = 3. }\)
\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|DC|} = 3.}\)
W dowolnym trapezie suma pól trójkątów \(\displaystyle{ P = P_{1}+ P_{2} + P_{3} + P_{4} = (\sqrt{P_{1}} + \sqrt{P_{2}})^2 \ \ (1)}\) potrafisz pokazać ?
\(\displaystyle{ P_{1} + P_{2} = P - (P_{3} + P_{4}) \ \ (2) }\)
\(\displaystyle{ P_{3} = P_{4} \ \ (3) }\)
Z równń \(\displaystyle{ (1), (2), (3) }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} P_{1} + P_{2} = 30 \\ 48 = 30 + 2\sqrt{P_{1}P_{2}} \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ P_{1} = 27, \ \ P_{2} = 3 }\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{27}{3} = 9 = k^2 }\)
\(\displaystyle{ k = 3. }\)
\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|DC|} = 3.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 21 sty 2020, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 14 razy
Re: Trapez stosunek podstaw
Będę ogromnie wdzięczny za wyjaśnienie skąd się wzięło równanie \(\displaystyle{ (3)}\). Doszukałem się informacji, że w dowolnym trapezie pola dwóch trójkątów przyległych do ramion powstałych z podziału trapezu na cztery trójkąty za pomocą przekątnych są równe, ale kompletnie nie wiem jak to pokazać. Niestety równanie \(\displaystyle{ (1)}\) to też dla mnie zagadka.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Trapez stosunek podstaw
Równanie \(\displaystyle{ (3) }\) wzięło się z twierdzenia
"W każdym trapezie trójkąty \(\displaystyle{ AOD,\ \ BOD }\) są przystające".
Mają więc równe pola.
Dowód nie wymaga żadnych rachunków, jeśli zauważymy, że pola trójkątów \(\displaystyle{ ABD \ \ i \ \ ABC }\) są równe, bo trójkąty te mają taką samą wysokość (równą wysokości trapezu) i wspólną podstawę (równą większej podstawie trapezu).
Wyprowadzenie wzoru \(\displaystyle{ (1) }\)
Oznaczamy pole trójkąta \(\displaystyle{ ABO }\) przez \(\displaystyle{ P_{1}, }\) pole trójkąta \(\displaystyle{ COD }\) przez \(\displaystyle{ P_{2}. }\)
Jak wykazałem wcześniej trójkąty te są podobne, więc zachodzi równość
\(\displaystyle{ \frac{P_{1}}{P_{2}} = k^2 }\)
skąd
\(\displaystyle{ k =\sqrt{\frac{P_{1}}{P_{2}}}. }\)
W takim razie bok \(\displaystyle{ |AO|= k \cdot|CO|. }\)
Zauważmy, że trójkąty \(\displaystyle{ AOD , \ \ DOC }\) mają te samą wysokość \(\displaystyle{ |DK| = h }\) a podstawa pierwszego z nich jest \(\displaystyle{ k }\) krotnie większa od podstawy drugiego.
Zatem pole trójkąta \(\displaystyle{ AOD}\) jest równe
\(\displaystyle{ k\cdot P_{2} = \sqrt{\frac{P_{1}}{P_{2}}}\cdot P_{2} = \sqrt{P_{1}\cdot P_{2}} }\)
Stąd i z twierdzenia powyżej wynika, że
\(\displaystyle{ P = P_{1}+ P_{2} + P_{3} + P_{4} = P_{1} + P_{2} + \sqrt{P_{1}P_{2}} + \sqrt{P_{1}P_{2}} = (\sqrt{P_{1}})^2 + (\sqrt{P_{2}})^2 +2 \sqrt{P_{1}P_{2}} }\)
Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch składników
\(\displaystyle{ P = (\sqrt{P_{1}} + \sqrt{P_{2}})^2 }\)
co mieliśmy udowodnić.
"W każdym trapezie trójkąty \(\displaystyle{ AOD,\ \ BOD }\) są przystające".
Mają więc równe pola.
Dowód nie wymaga żadnych rachunków, jeśli zauważymy, że pola trójkątów \(\displaystyle{ ABD \ \ i \ \ ABC }\) są równe, bo trójkąty te mają taką samą wysokość (równą wysokości trapezu) i wspólną podstawę (równą większej podstawie trapezu).
Wyprowadzenie wzoru \(\displaystyle{ (1) }\)
Oznaczamy pole trójkąta \(\displaystyle{ ABO }\) przez \(\displaystyle{ P_{1}, }\) pole trójkąta \(\displaystyle{ COD }\) przez \(\displaystyle{ P_{2}. }\)
Jak wykazałem wcześniej trójkąty te są podobne, więc zachodzi równość
\(\displaystyle{ \frac{P_{1}}{P_{2}} = k^2 }\)
skąd
\(\displaystyle{ k =\sqrt{\frac{P_{1}}{P_{2}}}. }\)
W takim razie bok \(\displaystyle{ |AO|= k \cdot|CO|. }\)
Zauważmy, że trójkąty \(\displaystyle{ AOD , \ \ DOC }\) mają te samą wysokość \(\displaystyle{ |DK| = h }\) a podstawa pierwszego z nich jest \(\displaystyle{ k }\) krotnie większa od podstawy drugiego.
Zatem pole trójkąta \(\displaystyle{ AOD}\) jest równe
\(\displaystyle{ k\cdot P_{2} = \sqrt{\frac{P_{1}}{P_{2}}}\cdot P_{2} = \sqrt{P_{1}\cdot P_{2}} }\)
Stąd i z twierdzenia powyżej wynika, że
\(\displaystyle{ P = P_{1}+ P_{2} + P_{3} + P_{4} = P_{1} + P_{2} + \sqrt{P_{1}P_{2}} + \sqrt{P_{1}P_{2}} = (\sqrt{P_{1}})^2 + (\sqrt{P_{2}})^2 +2 \sqrt{P_{1}P_{2}} }\)
Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch składników
\(\displaystyle{ P = (\sqrt{P_{1}} + \sqrt{P_{2}})^2 }\)
co mieliśmy udowodnić.
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Trapez stosunek podstaw
Inaczej :
\(\displaystyle{ |AD|=a}\)
\(\displaystyle{ |BC|=b}\)
Wysokość trójkąta BOC poprowadzona do podstawy trapezu to \(\displaystyle{ x}\).
Wysokość ADO to \(\displaystyle{ y}\).
Mamy :
pole AOB \(\displaystyle{ =0,5b(x+y) - 0,5bx=0,5by=9}\) z tego \(\displaystyle{ b=\frac{18}{y}}\)
pole COD \(\displaystyle{ =0,5a(x+y)-0,5ay=9}\) z tego \(\displaystyle{ a=\frac{18}{x}}\)
z pola trapezu wiemy, że \(\displaystyle{ 0,5bx+0,5ay=60}\) do tego równania wstawiamy wyznaczone wcześniej (a) i (b), jest
\(\displaystyle{ 9\cdot \frac{x}{y}+9\cdot \frac{y}{x}=30}\) szukane (w zadaniu ) to \(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\) podstawiamy \(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}}\) (i przekształcamy), do rozwiązania
\(\displaystyle{ \frac{3}{t}+3t=10}\)
\(\displaystyle{ |AD|=a}\)
\(\displaystyle{ |BC|=b}\)
Wysokość trójkąta BOC poprowadzona do podstawy trapezu to \(\displaystyle{ x}\).
Wysokość ADO to \(\displaystyle{ y}\).
Mamy :
pole AOB \(\displaystyle{ =0,5b(x+y) - 0,5bx=0,5by=9}\) z tego \(\displaystyle{ b=\frac{18}{y}}\)
pole COD \(\displaystyle{ =0,5a(x+y)-0,5ay=9}\) z tego \(\displaystyle{ a=\frac{18}{x}}\)
z pola trapezu wiemy, że \(\displaystyle{ 0,5bx+0,5ay=60}\) do tego równania wstawiamy wyznaczone wcześniej (a) i (b), jest
\(\displaystyle{ 9\cdot \frac{x}{y}+9\cdot \frac{y}{x}=30}\) szukane (w zadaniu ) to \(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\) podstawiamy \(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}}\) (i przekształcamy), do rozwiązania
\(\displaystyle{ \frac{3}{t}+3t=10}\)
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Trapez stosunek podstaw
Możesz to udowodnić? Proszę!
PS. Może być nawet w wersji trójkątów \(\displaystyle{ AOD,\ BOC}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Trapez stosunek podstaw
@JHN
W każdym trapezie równoramiennym trójkąty \(\displaystyle{ AOD, BOC }\) są przystające. W każdym trapezie pola trójkątów \(\displaystyle{ AOC, BOC }\) są równe. Zabrakło przymiotnika równoramienny dla trapezu z zadania . Proszę nie robić podchodów, prosząc o dowód nieprawdziwego twierdzenia.
W każdym trapezie równoramiennym trójkąty \(\displaystyle{ AOD, BOC }\) są przystające. W każdym trapezie pola trójkątów \(\displaystyle{ AOC, BOC }\) są równe. Zabrakło przymiotnika równoramienny dla trapezu z zadania . Proszę nie robić podchodów, prosząc o dowód nieprawdziwego twierdzenia.
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Trapez stosunek podstaw
A gdzie w treści zadania jest napisane, że rozważamy trapez równoramienny?
JK