Trapez stosunek podstaw

[+pomocy+]

Dzień dobry
Dostałem takie zadanie, pole trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC }\) \(\displaystyle{ (AD > BC)}\) jest równe \(\displaystyle{ 48}\).
Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu.
Pole trójkąta \(\displaystyle{ AOB}\) jest równe \(\displaystyle{ 9}\).
Wyznaczyć stosunek długości \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) podstaw trapezu.
Proszę o pomoc, jestem w stanie tylko pokazać, że trójkąt \(\displaystyle{ AOC}\) jest podobny do \(\displaystyle{ BOC}\), ale później nie wiem co dalej, bo dostaje równania ze zbyt dużo ilością niewiadomych. Czy ktoś mógłby mi to zadanie wyjaśnić, przynajmniej jak je ugryźć.

[janusz47]

Wykazanie podobieństwa trójkątów popraw , to już połowa sukcesu w rozwiązaniu zadania. Jakich trójkątów?

Co powiemy o polu trójkąta \(\displaystyle{ BOC }\)


Co powiemy o stosunku pól figur podobnych?

[+pomocy+]

\(\displaystyle{ \frac{ P_{1} }{P_{2}} =k ^{2} }\), ale to mi nic nie dało. A czy można w jakiś sposób pokazać, że trójkąt \(\displaystyle{ AOB}\) jest podobny do \(\displaystyle{ COD}\)? Ja więcej związków nie widzę, chyba, że nie tędy droga?

[janusz47]

W każdym trapezie \(\displaystyle{ \Delta AOB \sim \Delta COD }\) na podstawie cechy podobieństwa trójkątów " kąt-kąt-kąt"

Kąty przy wierzchołku \(\displaystyle{ O }\) są równe, jako kąty wierzchołkowe i kąty przy podstawach trapezu mają równe miary jako kąty naprzemianległe wewnętrzne przy dwóch prostych równoległych zawierających podstawy trapezu przeciętych prostymi, zawierającymi jego przekątne.

[+pomocy+]

Na tej zasadzie pokazałem to co jest pod treścią zadania.

[janusz47]

Jeden ze sposobów rozwiązania zadania

W dowolnym trapezie suma pól trójkątów \(\displaystyle{ P = P_{1}+ P_{2} + P_{3} + P_{4} = (\sqrt{P_{1}} + \sqrt{P_{2}})^2 \ \ (1)}\) potrafisz pokazać ?

\(\displaystyle{ P_{1} + P_{2} = P - (P_{3} + P_{4}) \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ P_{3} = P_{4} \ \ (3) }\)

Z równń \(\displaystyle{ (1), (2), (3) }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} P_{1} + P_{2} = 30 \\ 48 = 30 + 2\sqrt{P_{1}P_{2}} \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ P_{1} = 27, \ \ P_{2} = 3 }\)

\(\displaystyle{ \frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{27}{3} = 9 = k^2 }\)

\(\displaystyle{ k = 3. }\)

\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|DC|} = 3.}\)

[+pomocy+]

Będę ogromnie wdzięczny za wyjaśnienie skąd się wzięło równanie \(\displaystyle{ (3)}\). Doszukałem się informacji, że w dowolnym trapezie pola dwóch trójkątów przyległych do ramion powstałych z podziału trapezu na cztery trójkąty za pomocą przekątnych są równe, ale kompletnie nie wiem jak to pokazać. Niestety równanie \(\displaystyle{ (1)}\) to też dla mnie zagadka.

[janusz47]

Równanie \(\displaystyle{ (3) }\) wzięło się z twierdzenia

"W każdym trapezie trójkąty \(\displaystyle{ AOD,\ \ BOD }\) są przystające".

Mają więc równe pola.

Dowód nie wymaga żadnych rachunków, jeśli zauważymy, że pola trójkątów \(\displaystyle{ ABD \ \ i \ \ ABC }\) są równe, bo trójkąty te mają taką samą wysokość (równą wysokości trapezu) i wspólną podstawę (równą większej podstawie trapezu).

Wyprowadzenie wzoru \(\displaystyle{ (1) }\)

Oznaczamy pole trójkąta \(\displaystyle{ ABO }\) przez \(\displaystyle{ P_{1}, }\) pole trójkąta \(\displaystyle{ COD }\) przez \(\displaystyle{ P_{2}. }\)

Jak wykazałem wcześniej trójkąty te są podobne, więc zachodzi równość

\(\displaystyle{ \frac{P_{1}}{P_{2}} = k^2 }\)

skąd

\(\displaystyle{ k =\sqrt{\frac{P_{1}}{P_{2}}}. }\)

W takim razie bok \(\displaystyle{ |AO|= k \cdot|CO|. }\)

Zauważmy, że trójkąty \(\displaystyle{ AOD , \ \ DOC }\) mają te samą wysokość \(\displaystyle{ |DK| = h }\) a podstawa pierwszego z nich jest \(\displaystyle{ k }\) krotnie większa od podstawy drugiego.

Zatem pole trójkąta \(\displaystyle{ AOD}\) jest równe

\(\displaystyle{ k\cdot P_{2} = \sqrt{\frac{P_{1}}{P_{2}}}\cdot P_{2} = \sqrt{P_{1}\cdot P_{2}} }\)

Stąd i z twierdzenia powyżej wynika, że

\(\displaystyle{ P = P_{1}+ P_{2} + P_{3} + P_{4} = P_{1} + P_{2} + \sqrt{P_{1}P_{2}} + \sqrt{P_{1}P_{2}} = (\sqrt{P_{1}})^2 + (\sqrt{P_{2}})^2 +2 \sqrt{P_{1}P_{2}} }\)

Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch składników

\(\displaystyle{ P = (\sqrt{P_{1}} + \sqrt{P_{2}})^2 }\)

co mieliśmy udowodnić.

[piasek101]

Inaczej :
\(\displaystyle{ |AD|=a}\)
\(\displaystyle{ |BC|=b}\)
Wysokość trójkąta BOC poprowadzona do podstawy trapezu to \(\displaystyle{ x}\).
Wysokość ADO to \(\displaystyle{ y}\).
Mamy :
pole AOB \(\displaystyle{ =0,5b(x+y) - 0,5bx=0,5by=9}\) z tego \(\displaystyle{ b=\frac{18}{y}}\)
pole COD \(\displaystyle{ =0,5a(x+y)-0,5ay=9}\) z tego \(\displaystyle{ a=\frac{18}{x}}\)

z pola trapezu wiemy, że \(\displaystyle{ 0,5bx+0,5ay=60}\) do tego równania wstawiamy wyznaczone wcześniej (a) i (b), jest
\(\displaystyle{ 9\cdot \frac{x}{y}+9\cdot \frac{y}{x}=30}\) szukane (w zadaniu ) to \(\displaystyle{ \frac{y}{x}}\) podstawiamy \(\displaystyle{ t=\frac{y}{x}}\) (i przekształcamy), do rozwiązania

\(\displaystyle{ \frac{3}{t}+3t=10}\)

[+pomocy+]

Dziękuję serdecznie za pomoc, oba rozwiązania są bardzo pouczające.

[JHN]

Równanie \(\displaystyle{ (3) }\) wzięło się z twierdzenia

"W każdym trapezie trójkąty \(\displaystyle{ AOD,\ \ BOD }\) są przystające".

Możesz to udowodnić? Proszę!
PS. Może być nawet w wersji trójkątów \(\displaystyle{ AOD,\ BOC}\)

[janusz47]

@JHN
W każdym trapezie równoramiennym trójkąty \(\displaystyle{ AOD, BOC }\) są przystające. W każdym trapezie pola trójkątów \(\displaystyle{ AOC, BOC }\) są równe. Zabrakło przymiotnika równoramienny dla trapezu z zadania . Proszę nie robić podchodów, prosząc o dowód nieprawdziwego twierdzenia.

[Jan Kraszewski]

Zabrakło przymiotnika równoramienny dla trapezu z zadania.

A gdzie w treści zadania jest napisane, że rozważamy trapez równoramienny?

JK

[janusz47]

W treści zadania nie jest napisane, że trapez jest równoramienny. Stąd błędne moje założenie o przystawaniu bocznych jego trójkątów.