W czworokącie wypukłym długości kolejnych boków tworzą ciąg arytmetyczny. Wykaż, że wszystkie dwusieczne kątów wewnętrznych tego czworokąta przecinają się w jednym punkcie.
Czy tym czworokątem przypadkiem nie może być tylko romb?
Czworokąt i dwusieczne
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Czworokąt i dwusieczne
Tak, tym czworokątem przypadkiem może być tylko romb.
Skoro dwusieczne przecinają się w jednym punkcie, to jest on środkiem okręgu wpisanego w ten czworokąt. (dorysowując odcinki łączące boki z punktem przecięcia się dwusiecznych, i prostopadłych do tych boków, dostaniesz cztery pary przystających trójkątów, a stąd pokażesz równość tych dorysowanych odcinków).
Niech \(\displaystyle{ \left| AB\right|=a \ , \ \left| BC\right|=a+r \ , \ \left| CD\right|=a+2r \ , \ \left| DA\right|=a +3r }\) , a punktami styczności okręgu z czworokątem będą \(\displaystyle{ E,F,G,H }\)
Przyjmując \(\displaystyle{ \left| EB\right|=x=\left| BF\right| }\) mam:
\(\displaystyle{ \left| FC\right|=a+r-x=\left| CG\right| }\) co daje:
\(\displaystyle{ \left| GD\right|=r+x=\left| DH\right| }\) co daje:
\(\displaystyle{ \left| HA\right|=a+2r-x=\left| AE\right| }\)
Z drugiej strony \(\displaystyle{ \left| AE\right|=a-x }\) więc:
\(\displaystyle{ a-x=a+2r-x\\
2r=0}\)
co potwierdza Twoją intuicyjną odpowiedź.
Dodano po 3 godzinach 53 minutach 41 sekundach:
PS
Ależ ten temat jest popularny. Kilka godzin, a tyle tysięcy odsłon.