Trójkat

[zwierzaczysko_]

W trójkącie ABC mamy dane |∡C|=90°, |AC|=b, |AB|=c. Dwusieczna kąta A przecięła w punkcie P prostopadłą do boku AB i przechodzącą przez punkt B. Wykaż że odległość punktu P od boku BC wynosi c-b.

[piasek101]

D punkt przecięcia \(\displaystyle{ BC}\) z dwusieczną. Niech \(\displaystyle{ |BC|=a}\) oraz \(\displaystyle{ |CD|=x}\), kąt \(\displaystyle{ |A|=2\alpha}\).
Z tw o dwusiecznej mamy \(\displaystyle{ \frac{b}{x}=\frac{c}{a-x}}\).
Trójkąt \(\displaystyle{ BDP}\) jest równoramienny (wykazać). Ma kąt \(\displaystyle{ 2\alpha}\).
Np z sinusa kąta \(\displaystyle{ 2\alpha}\) w trójkątach \(\displaystyle{ ABC}\) oraz \(\displaystyle{ BDP}\) mamy co szukane.

Jak będzie trzeba to rozwinę - może z rysunkiem.