Środkowe w sześciokącie foremnym i trójkąty przez nie utworzone

[supertrooper]

W sześciokącie foremnym \(\displaystyle{ ABCD{}EF}\) punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są środkami boków odpowiednio \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\). Proste \(\displaystyle{ PE}\) i \(\displaystyle{ QF}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ O}\).
Uzasadnij, że czworokąt \(\displaystyle{ OPBQ}\) i trójkąt \(\displaystyle{ OFE}\) mają równe pola.

[JHN]

W skrócie, bez rozpisywania własności sześciokąta foremnego, tw. Pitagorasa, symetryczności...

Zrób schludny rysunek, przyjmijmy, że bok sześciokąta ma długość \(\displaystyle{ 4x>0}\) (nie będą się pojawiały ułamki) i zauważ istnienie równoramiennych trójkątów \(\displaystyle{ EFG}\) i \(\displaystyle{ PQE}\)
o bokach odpowiednio
\(\displaystyle{ 4x,\ 2\sqrt{13}x,\ 2\sqrt{13}x}\) i \(\displaystyle{ 2\sqrt3x,\ 2\sqrt{13}x,\ 2\sqrt{13}x}\)
oraz polach
\(\displaystyle{ 8\sqrt3 x^2}\) i \(\displaystyle{ 7\sqrt3 x^2}\).

Ponieważ
\(\displaystyle{ \begin{cases} S_{\Delta FOE}+S_{\Delta OQE}=8\sqrt3 x^2\\
S_{\Delta PQO}+S_{\Delta OQE}=7\sqrt3 x^2\end{cases}}\)
to
\(\displaystyle{ S_{\Delta FOE}-S_{\Delta PQO}=\sqrt3 x^2=S_{\Delta PBQ}}\)
co jest równoważne tezie

Pozdrawiam
PS. Wersja analityczna, pracowita...:
[ciach]

[supertrooper]

Dziękuję za pomoc