Styczność i kąty

[mol_ksiazkowy]

Dane są okręgi styczne wewnętrznie do siebie w punkcie \(\displaystyle{ P}\), oraz prosta, która przecina zewnętrzny okrąg w punktach \(\displaystyle{ A, B}\) zaś wewnętrzny okrąg w punktach \(\displaystyle{ C, D}\). Udowodnić, że kąty\(\displaystyle{ APC}\) i \(\displaystyle{ BPD }\) są równe.

[JHN]

Zewnętrzny okrąg jest obrazem wewnętrznego w pewnej jednokładności \(\displaystyle{ J_P^k}\) o środku \(\displaystyle{ P}\) i skali \(\displaystyle{ k>1}\). I w skrócie:
Jeżeli \(\displaystyle{ J_P^k(C)=C',\ J_P^k(D)=D'}\), to \(\displaystyle{ \overline{C'D'} \parallel \overline{CD}}\). Zatem łuki \(\displaystyle{ AC'}\) i \(\displaystyle{ BD'}\) są przystające i kąty wpisane, oparte na tych łukach są równe. W szczególności \(\displaystyle{ |\angle C'PA|=|\angle D'PB| }\), co jest równoważne tezie.

Pozdrawiam

[mol_ksiazkowy]

Ukryta treść:    

można zobaczyć od razu w szczególnym przypadku gdy ta prosta jest średnicą.

por film Skąd tu pi? I dlaczego w kwadracie? Geometryczne rozwiązanie problemu bazylejskiego (ok 11 min)

Zadanie ze zbioru W. Pompe ; nr 154