Przecięcie osi

[mol_ksiazkowy]

Wykaż lub obal: Jeśli figura \(\displaystyle{ F}\) ma nieparzystą liczbę osi symetrii, to te osie mają punkt wspólny.

[matmatmm]

Jeśli się nie pomyliłem, to ma miejsce następujący fakt:

Jeśli figura płaska \(\displaystyle{ F}\) ma skończoną liczbę osi symetrii to wszystkie te osie przecinają się w jednym punkcie.

Dowód. Załóżmy, że pewna figura \(\displaystyle{ F}\) ma dwie rozłączne (czyli równoległe) osie symetrii \(\displaystyle{ O_1, O_2}\). Niech \(\displaystyle{ d>0}\) będzie odległością między tymi prostymi. NIech \(\displaystyle{ O}\) będzie prostą równoległą do \(\displaystyle{ O_2}\) i odległą od niej o \(\displaystyle{ d}\) (różną od \(\displaystyle{ O_1}\)). Wykażemy, że \(\displaystyle{ O}\) jest osią symetrii figury \(\displaystyle{ F}\). Niech \(\displaystyle{ p\in F}\) będzie dowolnym punktem i niech \(\displaystyle{ p'}\) będzie symetryczny do \(\displaystyle{ p}\) względem \(\displaystyle{ O}\). Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ p'\in F}\).

W tym miejscu trzeba wykazać, że \(\displaystyle{ p'=\xi_2(\xi_1(\xi_2(p)))}\), gdzie \(\displaystyle{ \xi_1,\xi_2}\) są symetriami względem odpowiednio \(\displaystyle{ O_1,O_2}\). Rozrysowałem wszystkie przypadki położenia punktu \(\displaystyle{ p}\), przeanalizowałem odpowiednie odległości i wszystko wskazuje na to, że istotnie tak jest. Nie przestawię teraz pełnego dowodu, ale gdyby były wątpliwości co do tego stwierdzenia, to mogę spróbować.

Dalej wobec tego, że \(\displaystyle{ O_1,O_2}\) są osiami symetrii figury \(\displaystyle{ F}\), dostajemy \(\displaystyle{ p'\in F}\). Zatem \(\displaystyle{ O}\) jest osią symetrii figury \(\displaystyle{ F}\). Możemy następnie rozważyć prostą równoległą do \(\displaystyle{ O}\) odległą od niej o \(\displaystyle{ d}\) i stosując to samo rozumowanie stwierdzić, że jest ona także osią symetrii figury \(\displaystyle{ F}\). Kontynuując, dostaniemy ostatecznie nieskończenie wiele osi symetrii figury \(\displaystyle{ F}\).

PS. Dlaczego w treści jest mowa o nieparzystej liczbie osi? Masz jakiś kontrprzykład z parzystą liczbą?

EDIT. Teraz widzę, że to co napisałem wcale nie dowodzi, że wszystkie osie przecinają się w jednym punkcie. Jedynie, że dowolne dwie osie się przecinają.