Wyznaczyć stosunek boków równoległoboku.

[KotwButach]

Proszę o pomoc.

W równoległoboku kąt ostry jest równy kątowi między przekątnymi. Krótsza przekątna tworzy z krótszym bokiem kąt prosty. Wykaż, że \(\displaystyle{ a= \sqrt{3}b }\) {a- dłuższy bok, b- krótszy}

Używam podobieństwa trójkątów, sinusów w trójkącie prostokątnym, tw. cosinusów i nawet wzorów redukcyjnych, a nie wychodzi

[kerajs]

p- krótsza przekątna
q - dłuższa przekątna
\(\displaystyle{ \phi}\) - kąt ostry

zachodzą związki:
\(\displaystyle{ a^2=p^2+b^2\\
q^2=p^2+(2b)^2\\
P=ab\sin \phi = \frac{1}{2}pq \sin \phi }\)
stąd:
\(\displaystyle{ ab\sin \phi = \frac{1}{2} \sqrt{a^2-b^2} \sqrt{a^2+3b^2} \sin \phi}\)
pozbywam się ułamka i pierwiastków:
\(\displaystyle{ 2a^2b^2=(a^2-b^2)(a^2+3b^2)\\
(a^2+b^2)(a^2-3b^2)=0\\
a=b \sqrt{3} }\)

Dodano po 6 godzinach 26 minutach 40 sekundach:
mała errata:
w równaniu

pozbywam się ułamka i pierwiastków:
\(\displaystyle{ 2a^2b^2=(a^2-b^2)(a^2+3b^2) }\)

brakuje jednego wykładnika:
\(\displaystyle{ 2^2a^2b^2=(a^2-b^2)(a^2+3b^2) }\)

[piasek101]

Albo :

Kod: Zaznacz cały

https://images91.fotosik.pl/310/7308ab4593450f09.gif

z podobieństwa dolnych trójkątów (są prostokątne o takim samym kącie ostrym), mamy
\(\displaystyle{ \frac{b}{x}=\frac{2x}{b}}\) z tego wyznaczyć (2x) w zależności od (b), potem Pitagoras w trójkącie z bokiem (2x).

[KotwButach]

Zapomniałem podziękować.

Dzięki bardzo