Miary kątów w równoległoboku

[matematykipatyk]

Oblicz miary kątów wewnętrznych równoległoboku.

[kerajs]

Miszcz pejnta:


\(\displaystyle{ \ctg \alpha = \frac{y-x}{2h}= \frac{h \ \ctg 20^\circ-h \ \ctg 40^\circ}{2h}= \frac{\ctg 20^\circ-\ctg 40^\circ}{2}= \frac{\sin (40^\circ-20^\circ)}{2\sin 20^\circ \sin 40^\circ} = \frac{1}{2\sin 40^\circ} \\
\alpha =\arctg (2\sin 40^\circ) }\)

[matematykipatyk]

Nie mam pomysłu co z tym dalej zrobić.

[kerajs]

W zamierzchłej przeszłości, czyli pól wieku temu, wziąłbyś tablice i suwak logarytmiczny i po chwili miałbyś wynik \(\displaystyle{ \alpha \approx 52^\circ 07'}\). Dzisiaj, przy powszechnym dostępie od licznych i bardziej zaawansowanych narzędzi, wynik możesz mieć o kilka rzędów dokładniejszy.

[matematykipatyk]

Mógłbyś bardziej konkretnie.

Dodano po 3 godzinach 26 minutach 35 sekundach:
K. Już mam. Tylko mi wyszło ok.53 stopnie.

[Gosda]

Bardziej konkretnie: tego nie da się rozwiązać w przyjemny sposób analitycznie. Na przykład \(\displaystyle{ \sin \frac {2\pi}{9}}\) jest jednym z miejsc zerowych wielomianu \(\displaystyle{ 64 x^6 - 96x^4 + 36 x^2 - 3}\), i wątpię, żeby nałożenie na to następnych funkcji prowadziło do przyjemnych wyników. Dlatego używasz kalkulatora i masz problem z głowy.

[janusz47]

Jest to zadanie dla klas trzecich gimnazjalnych na spostrzegawczość i nie wymaga ono obliczeń przybliżonych, jeśli zauważymy, że kąty wierzchołkowe przecięcia się przekątnych równoległoboku wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ 60^{o} }\) i \(\displaystyle{ 120^{o} }\) oraz dwa trójkąty przystające równoległoboku \(\displaystyle{ COD, ABO }\) mają kąty wewnętrzne \(\displaystyle{ 120^{o}, 40^{o}, 20^{o}. }\)

Należy dobrać miary dwóch kątów \(\displaystyle{ \alpha, \beta, }\) spełniających równanie \(\displaystyle{ \alpha + \beta = 120^{o} }\) (bo jeden z kątów jest równy \(\displaystyle{ 60^{o} ) }\) pozostałych dwóch trójkątów przystających: \(\displaystyle{ AOD , BOC }\) równoległoboku. Kładąc dpowiednio za \(\displaystyle{ \alpha = 80^{o} }\) i \(\displaystyle{ \beta = 40^{0} }\) dostajemy miary kątów wewnętrznych równoległoboku: \(\displaystyle{ |\angle A| = |\angle C| = 40^{o} + 20^{o} = 60^{o}}\) oraz \(\displaystyle{ |\angle C| = |\angle B| = 80^{o} + 40^{o} = 120^{o}.}\)

[matematykipatyk]

Przecież nie można tak po prostu za \(\displaystyle{ \alpha }\) i \(\displaystyle{ \beta}\) podłożyc dowolnych wartości. Dlaczego akurat \(\displaystyle{ 40^{o}}\) i \(\displaystyle{ 80^{o}}\). Równie dobrze można byłoby podłożyć \(\displaystyle{ 41^{o}}\) i \(\displaystyle{ 81^{o}}\). Wydaje mi się, że metoda zaproponowana przez kerajs -a czyli skorzystanie z trygonometrii żeby policzyć te kąty jest słuszna. Tylko mi z obliczeń wychodzą kąty ok \(\displaystyle{ 53^{o}}\) i \(\displaystyle{ 67^{o}}\).

[janusz47]

Można, zauważ, że miary kątów naprzemianległych muszą być równe. Wartości kątów \(\displaystyle{ 81^{o}, 41^{o} }\) nie można podstawić.

[a4karo]

A 39 i 81?

[matematykipatyk]

Nie rozumiem dlaczego możesz podstawić akurat \(\displaystyle{ 40^{o}}\) i \(\displaystyle{ 80^{o}}\). Przecież ten \(\displaystyle{ 40^{o}}\) z trójkąta \(\displaystyle{ AOB}\) nie jest w żaden sposób naprzemianległy z kątem z trójkąta \(\displaystyle{ AOC}\). Dlaczego podstawiamy akurat te wartości?

[janusz47]

Narysuj równoległobok oznacz miary kątów wierzchołkowych przecięcia się przekątnych i miary kątów trójkątów \(\displaystyle{ COD }\) i \(\displaystyle{ AOB. }\)

[Premislav]

janusz47, to, że zadanie kojarzy Ci się z zadaniami dla klas trzecich gimnazjum, to nie znaczy, że w jego rozwiązaniu należy popełniać błędy charakterystyczne dla tego etapu nauki (np. koleżanka na kółku nie mogła skminić zadanka z testu wstępnego do Staszica, więc sobie przyjęła kąty takie, jak chciała, i wtedy „wyszło" – tak mi się to skojarzyło ). W rozwiązaniu nie należy popełniać błędów.

[matematykipatyk]

Dodano po 20 minutach 37 sekundach:
Poprawka. Mi wyszły kąty \(\displaystyle{ 33^{o}}\)i \(\displaystyle{ 87^{o}}\). Oczywiście w przybliżeniu. Czy ktoś mógłby sprawdzić?

[janusz47]

@a4karo

\(\displaystyle{ 39^{o}, 81^{o} }\) - można przyjąć.

Wtedy

\(\displaystyle{ |\angle A| = |\angle C| = 59^{o} }\)

\(\displaystyle{ |\angle B| = |\angle D| = 121^{o}. }\)

Dodano po 4 minutach 20 sekundach:
matematykipatyk - zadanie nie ma jednoznacznego rozwiązania.