Obwód deltoidu

[41421356]

W deltoidzie przekątne mają długość \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 8}\). Wykaż, że obwód tego deltoidu wynosi co najmniej \(\displaystyle{ 20}\) jeśli wiadomo, że dłuższa przekątna jest jego osią symetrii.

[piasek101]

A więc dłuższa przekątna podzielona jest krótszą na odcinki \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ 8-x}\).
I boki można uzależnić od x-sa.

[41421356]

Ok, a inaczej niż optymalizowaniem?

[Dilectus]

Jakim optymalizowaniem? O czym mówisz?

[kerajs]

Prócz szukania minimum funkcji:
\(\displaystyle{ obw(x)=2( \sqrt{x^2+3^3}+ \sqrt{(8-x)^2+3^2}) }\) dla \(\displaystyle{ x \in \left( 0,8\right)}\)
można choćby wykorzystać zależność między średnimi:
\(\displaystyle{ obw(x)= 2(\sqrt{x^2+3^3}+ \sqrt{(8-x)^2+3^2} )= 4 \cdot \frac{\sqrt{x^2+3^3}+ \sqrt{(8-x)^2+3^2} }{2} \ge 4 \sqrt{\sqrt{x^2+3^3} \sqrt{(8-x)^2+3^2} } }\)
równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+3^3}= \sqrt{(8-x)^2+3^2} }\) , czyli dla \(\displaystyle{ x=4}\), więc minimalny obwód to 20.

[Niepokonana]

Ok, kerajs, to pierwsze działanie to wiadomo obwód, bo boki są wyliczone z twierdzenia Pitagorasa, ale o co chodzi w drugim?
Tak w ogóle to jest zadanie z liceum czy ze studiów, bo wygląda na licealne. Tak tylko się wtrącam.

[piasek101]

W liceum (oficjalnie) tego nie ma.

[Niepokonana]

Bo jeżeli to jest dziwne zadanie ze studiów, to ja nie patrzę, ale jeżeli to jest zadanie z liceum, to próbuję rozwiązać. Brzmi całkiem ok.

[41421356]

Dziękuję za odpowiedź.

[JHN]

Ja bym przyjął, że dłuższa przekątna podzielona jest krótszą na odcinki \(\displaystyle{ 4-x}\) oraz \(\displaystyle{ 4+x}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in (-4,\ 4)}\)... Funkcja obwodu będzie parzysta a nierówność kerajs sympatyczniejsza!

Pozdrawiam
[edited]poprawka badclick