Przekątna wielokąta

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że dowolny wielokąt, o ile nie jest trójkątem, ma przekątną całkowicie zawartą w jego wnętrzu.

[Kartezjusz]

Załóżmy nie wprost, że takiej przekątnej nie ma.

[a4karo]

Nieprawda. Każda przekątna zawiera końce, które nie leżą wewnątrz wielokąta.

[Kartezjusz]

Wewnątrz - nie licząc wierzchołków.

[Slup]

Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie wielokątem czyli obszarem ograniczonym łamaną \(\displaystyle{ A_0A_1...A_nA_{n+1}}\) bez samoprzecięć i zamkniętą czyli \(\displaystyle{ A_{n+1} = A_0}\).

Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ W}\) posiada kąt wewnętrzny, który jest mniejszy od \(\displaystyle{ \pi}\) (to jest prawdą dla każdego wielokąta). Załóżmy, że ten kąt wewnętrzny, to \(\displaystyle{ A_{i-1}A_iA_{i+1}}\). Niech \(\displaystyle{ T}\) będzie trójkątem o wierzchołkach \(\displaystyle{ A_{i-1}}\), \(\displaystyle{ A_i}\), \(\displaystyle{ A_{i+1}}\). Z faktu, że kąt \(\displaystyle{ A_{i-1}A_iA_{i+1}}\) jest wewnętrzny, wynika, że topologiczne wnętrze trójkąta \(\displaystyle{ T}\) oraz topologiczne wnętrze wielokąta \(\displaystyle{ W}\) się przecinają. Niech \(\displaystyle{ B_1,...,B_m}\) będą wszystkimi wierzchołkami wielokąta \(\displaystyle{ W}\) różnymi od \(\displaystyle{ A_{i-1}, A_i, A_{i+1}}\), które znajdują się we wnętrzu topologicznym trójkąta \(\displaystyle{ T}\). Jeśli \(\displaystyle{ m=0}\) czyli zbiór tych wierzchołków jest pusty, to \(\displaystyle{ A_{i-1}A_{i+1}}\) jest przekątną \(\displaystyle{ W}\) (bo ten wielokąt nie jest trójkątem) i jest wewnętrzną przekątną. Jeśli \(\displaystyle{ m\neq 0}\), to istnieje \(\displaystyle{ j}\) takie, że

$$|B_jA_i| = \min_{1\leq k\leq m}|B_kA_i|$$

Wówczas \(\displaystyle{ B_jA_i}\) jest wewnętrzną przekątną \(\displaystyle{ W}\).

[timon92]

Jeśli \(\displaystyle{ m\neq 0}\), to istnieje \(\displaystyle{ j}\) takie, że

$$|B_jA_i| = \min_{1\leq k\leq m}|B_kA_i|$$

Wówczas \(\displaystyle{ B_jA_i}\) jest wewnętrzną przekątną \(\displaystyle{ W}\).

to na ogół nie jest prawda, ale można to łatwo poprawić wybierając jako \(B_j\) wierzchołek leżący najdalej prostej \(A_{i-1}A_{i+1}\)

[Slup]

Jeśli \(\displaystyle{ m\neq 0}\), to istnieje \(\displaystyle{ j}\) takie, że

$$|B_jA_i| = \min_{1\leq k\leq m}|B_kA_i|$$

Wówczas \(\displaystyle{ B_jA_i}\) jest wewnętrzną przekątną \(\displaystyle{ W}\).

to na ogół nie jest prawda, ale można to łatwo poprawić wybierając jako \(B_j\) wierzchołek leżący najdalej prostej \(A_{i-1}A_{i+1}\)

Dziękuję. Właściwie to ten wybór sobie wyobrażałem (gdy robiłem sobie "rysunek" w głowie). Formalne wyrażenie w moim rozwiązaniu, o który wierzchołek mi chodziło, było błędne.