pole czworokąta opisanego na okręgu

[K4rol]

witam, chodzi o pole czworokąta, a właściwie o długość boku "x" bo tylko tego brakuje aby policzyć pole, skończyły mi się pomysły co z tym zrobić

Kod: Zaznacz cały

https://ibb.co/vmNQ4SP

[Gosda]

A co już masz? Co udało się policzyć, co zauważyłeś na rysunku?

[K4rol]

dane z zadania były
r=2
dolna podstawa 5cm
ramię 6cm

[Gosda]

Trochę mało, czy widzisz może jakieś trójkąty podobne albo przystające?

[JHN]

\(\displaystyle{ 1^\circ}\) "Przedłuż" rysunek w górę, do trójkąta prostokątnego... łatwo zauważyć, że o bokach \(\displaystyle{ 5,\ 12,\ 13}\)

\(\displaystyle{ 2^\circ}\) "Przedłuż" rysunek w lewo, do trójkąta, można zauważyć, że równoramiennego (wraz z dwoma wysokościami)

\(\displaystyle{ 3^\circ}\) Poszukaj par trójkątów podobnych i wnioskuj: długości ramienia i wysokości trójkąta równoramiennego oraz \(\displaystyle{ 2+x}\)

Pozdrawiam

[a4karo]

Możesz spróbować wyznaczyć kąty przy wierzchołkach

[Gosda]

Możesz też brutalnie wyznaczyć współrzędne punktów i równania prostych, ale to nie jest chyba najlepszy (z rachunkowego punktu widzenia) pomysł

[K4rol]

Możesz też brutalnie wyznaczyć współrzędne punktów i równania prostych, ale to nie jest chyba najlepszy (z rachunkowego punktu widzenia) pomysł

hehe ta metoda odpada

Dodano po 9 minutach 52 sekundach:

\(\displaystyle{ 1^\circ}\) "Przedłuż" rysunek w górę, do trójkąta prostokątnego... łatwo zauważyć, że o bokach \(\displaystyle{ 5,\ 12,\ 13}\)

w jaki sposób to zauważyć? faktycznie to prawda ale to już program graficzny podpowiedział

Dodano po 18 minutach 18 sekundach:

Kod: Zaznacz cały

https://i.ibb.co/5RpGYht/Bez-tytu-u.png

[K4rol]

Kod: Zaznacz cały

https://i.ibb.co/5RpGYht/Bez-tytu-u.png

Dodano po 4 minutach 47 sekundach:

Trochę mało, czy widzisz może jakieś trójkąty podobne albo przystające?

pewnie że widzę, tylko to oznacza dodatkowe niewiadome

[a4karo]

Niech \(\alpha\) oznacza połowę kąta przy środku okręgu należącego do do dużego deltoidu, a \(\beta\) połowę tegoż kąta w małym deltoidzie.
Mamy wtedy \(\frac{\pi}{2}+4\alpha+2\beta=2\pi\), czyli \(\beta=\frac{3\pi}{4}-2\alpha\)
Mamy \(\alpha=\arcctg \frac{3}{2}\) i \(\frac{x}{2}=\tg\beta\), a stąd
$$x=2\tg\left(\frac{3\pi}{4}-2\arcctg \frac{3}{2}\right)$$

[K4rol]

Niech \(\alpha\) oznacza połowę kąta przy środku okręgu należącego do do dużego deltoidu, a \(\beta\) połowę tegoż kąta w małym deltoidzie.
Mamy wtedy \(\frac{\pi}{2}+4\alpha+2\beta=2\pi\), czyli \(\beta=\frac{3\pi}{4}-2\alpha\)
Mamy \(\alpha=\arcctg \frac{3}{2}\) i \(\frac{x}{2}=\tg\beta\), a stąd
$$x=2\tg\left(\frac{3\pi}{4}-2\arcctg \frac{3}{2}\right)$$

sprawdziłem w dwóch miejscach i to jest 0,66

Dodano po 47 minutach 34 sekundach:
ok w innym miejscu wyszło tak

Kod: Zaznacz cały

https://i.ibb.co/VqtwVjf/455-C4-A06-D7-E1-4-E61-BD96-CB0-F07-DC70-EA.jpg

[Gosda]

Nie pamiętam już jak dokładnie to liczyłem, ale mnie wyszło

\(\displaystyle{ x = \frac{14}{17}}\),

żeby dostać ten wynik trzeba zamienić arcus cotangens na arcus tangens we wzorze od a4karo.

[K4rol]

ok wyszło, tam powinno być
\(\displaystyle{ 2\arctg(3/2)}\)

dzięki

Dodano po 2 minutach 18 sekundach:

Nie pamiętam już jak dokładnie to liczyłem, ale mnie wyszło

\(\displaystyle{ x = \frac{14}{17}}\),

żeby dostać ten wynik trzeba zamienić arcus cotangens na arcus tangens we wzorze od a4karo.

no właśnie zauważyłem ten mały błądzik hehe, już wszystko gra

Dodano po 18 minutach 2 sekundach:
zastanawia mnie jak doszedłeś do takiego ładnego wyniku jak

\(\displaystyle{ x=\frac{14}{17}}\)

? bo ja to wklepuję w kalkulator i wychodzi przybliżenie - czy to po prostu wolfram?

[JHN]

\(\displaystyle{ 1^\circ}\) "Przedłuż" rysunek w górę, do trójkąta prostokątnego... łatwo zauważyć, że o bokach \(\displaystyle{ 5,\ 12,\ 13}\)

w jaki sposób to zauważyć?

Na rysunku zobaczyłem kwadrat - prostokątny
Przedłużenia w górę, licząc od punktów styczności: \(\displaystyle{ z}\), dają możliwość wykorzystania tw. Pitagorasa:
$$5^2+(z+2)^2=(z+3)^2 \iff z=10$$

Pozdrawiam