Kwadrat z punktem P

[JHN]

\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2=H^2+(x-h)^2\\ b^2=H^2+h^2\\ c^2=h^2+(x-H)^2\end{cases}}\)

Nie bawiąc się w algebrę i licząc dla kwadratu w skali \(\displaystyle{ 1:20}\) policzyłem jeszcze raz!
Mamy:
Z (i) : \(\displaystyle{ x^2-2xh+h^2+H^2=100}\), wobec (II) otrzymujemy: \(\displaystyle{ h= \frac{x^2-91}{2x} }\), dla \(\displaystyle{ x^2>91}\)
Z (iii) \(\displaystyle{ x^2-2xH+H^2+h^2=64}\), wobec (II) otrzymujemy: \(\displaystyle{ H= \frac{x^2-55}{2x} }\), dla \(\displaystyle{ x^2>55}\)
Wobec (ii) mamy \(\displaystyle{ \left( \frac{x^2-55}{2x} \right)^2+\left( \frac{x^2-91}{2x} \right)^2=9 }\)
Równanie jest równoważne równaniu:
\(\displaystyle{ \left( z-55\right)^2+\left( z-91\right)^2=36z }\), gdzie \(\displaystyle{ z=x^2\wedge z>91}\)

Jego rozwiązaniem, większym niż \(\displaystyle{ 91}\), jest \(\displaystyle{ z=82+3\sqrt{119}}\)

Ostateczną odpowiedź uzyskamy jako \(\displaystyle{ 400z}\)

To nie poprawna jest powierzchnia działki.

Wskaż, proszę, błąd w cytowanym układzie lub w moim, bardzo elementarnym, rozwiązaniu!

Pozdrawiam

[janusz47]

\(\displaystyle{ z = 82 + 3\sqrt{119} \approx 114,73 ? }\)

jest złym wynikiem.

[JHN]

Ostateczną odpowiedź uzyskamy jako \(\displaystyle{ 400z}\)

Czytaj, proszę, ze zrozumieniem!

Wskaż, proszę, błąd w cytowanym układzie lub w moim, bardzo elementarnym, rozwiązaniu

Dziękuję, ale nie przekonałeś mnie!

Pozdrawiam

[janusz47]

JHN

W pierwszym podejściu do metody rozwiązania tego zadania myślałem, że można rozwiązać to zadanie w sposób elementarny za pomocą układu równań wynikających ze wzoru Pitagorasa. O czym pisałem \(\displaystyle{ 24.bm.}\) Po głębszym zastanowieniu doszedłem do wniosku, że efektywniejszą i dokładniejszą będzie metoda z wykorzystaniem dwóch równań twierdzenia kosinusów, polegająca na wyeliminowaniu sinusa i kosinusa za pomocą jedynki trygonometrycznej.

Pozdrawiam

[Gosda]

Wszystkie metody zaprezentowane w tym wątku są równie dobre, ponieważ dają ten sam (dosłownie) wynik - działka jest kwadratem o boku długości

\(\displaystyle{ \sqrt{400(82 + 3 \sqrt{119})} \approx 214.220574496 \, m}\)

oraz polu

\(\displaystyle{ 400(82 + 3 \sqrt{119}) \approx 45890.4545376 \, m^2}\)

natomiast Ty piszesz:

\(\displaystyle{ x^4 - 6,56 x^2 + 9,0450 = 0. }\)

Otrzymujemy dwa rozwiązania dodatnie:

\(\displaystyle{ x_{1} \approx 1,4 \ \ hm. }\)

\(\displaystyle{ x_{2} \approx 2,1 \ \ hm. }\)

i tracisz dokładność przez zaokrąglenie pierwiastków równania. Nie wytykaj więc proszę innym, że Twoja metoda jest dokładniejsza.

[Tulio]

Wstawiając to zadanie myślałem, że ja liczyć nie umiem, a okazuje się ono... ciekawe.
Mi jeszcze wynik nie wyszedł, jednak wpisałem układ równań do wolframa:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=200%5E2+%3D+H%5E2+%2B+%28x-h%29%5E2%2C+60%5E2%3DH%5E2%2Bh%5E2%2C+160%5E2%3Dh%5E2%2B%28x-H%29%5E2%2C+h%3E0%2C+H%3E0%2C+x%3E0

następnie wziąłem "Exact result" na jedynym możliwym rozwiązaniu, skopiowałem i podniosłem do kwadratu w drugim oknie wolframa (świetnie, że nie można w jednej wiadomości wstawić dwóch linków)

faktycznie jest tam:
\(\displaystyle{ 400\left( 82+3 \sqrt{119}\right) }\)

[Tulio]

Drugim linkiem gdzie jest dokładna wartość

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28839143+sqrt%28%282+%286319+-+438+sqrt%28119%29%29%29%2F5653%29%29%2F2409+-+%2891+sqrt%282%2F5653%29+%286319+-+438+sqrt%28119%29%29%5E%283%2F2%29%29%2F2409%29%5E2

[janusz47]

Tulio

Wolfram Alpha jest narzędziem do wykonywania obliczeń. Przedstaw metodę równań niewymiernych- rozwiązania tego zadania od A do Z.

[Tulio]

Wolfram Alpha jest narzędziem do wykonywania obliczeń.

Bzdura. Potrafi też świetnie rozwiązywać układy równań i służy do miliona innych rzeczy. Za

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Alpha

:

Wolfram|Alpha, Wolfram Alpha – strona internetowa, stworzona przez amerykańską firmę Wolfram Alpha LLC. Formułuje ona odpowiedź na pytanie zadane w języku naturalnym, wykonuje obliczenia, przedstawia dane statystyczne, rozwiązuje równania itp.

Dalej... nawet gdyby Wolfram Alpha był narzędziemy tylko do wykonywania obliczeń, to nie widzę w jaki sposób doszedł Pan do wniosku, że nienależy przyjmować jego odpowiedzi za prawdziwe? Kalkulator też jest takim narzędziem, czy liczy Pan wszystko ręcznie?

Przedstaw metodę równań niewymiernych- rozwiązania tego zadania od A do Z.

Więc tak:
* Przedstawił ją w pełni użytkownik JHN i nie znalazł Pan w niej błędu pomimo prośby.
* Nie przedstawił Pan alternatywnego wyniku
* Nie podał Pan żadnej argumentacji czemu wynik przedstawiany przez poprzedników i Wolfram Alpha miałby być niepoprawny, prócz swojego wątpliwego przybliżenia wielomianu (zakładam, że pierwiastek tego wielomianu też Pan znalazł w Wolfram Alpha lub podobnym narzędziu do wykonywania obliczeń, a nie liczył Pan tego ręcznie metodami numerycznymi)

Mimo tego wszystkiego... Specjalnie dla Pana, Panie janusz47, zrobię prezent i w następnej wiadomości przedstawiam rozwiązanie od A do Z zgodnie z Pana prośbą.

Dodano po 25 sekundach:
Jednak specjalnie dla Pana janusz47 rozpisuję dokładnie odpowiedź

Mamy kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) w którym wybrano punkt \(\displaystyle{ P}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \left| PA\right| = 200}\), \(\displaystyle{ \left| PB\right| = 60}\), \(\displaystyle{ \left| PC\right| = 160}\)

Weźmy kwadrat \(\displaystyle{ A'B'C'D'}\) z obranym punktem \(\displaystyle{ P'}\) narysowanym w skali \(\displaystyle{ 1:20}\) względem kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\). Kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie miał \(\displaystyle{ 400}\) razy większe pole od pola kwadratu \(\displaystyle{ A'B'C'D'}\).

Przy analogicznych oznaczeniach jak u bosa_Nike mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2=H^2+(x-h)^2\\ b^2=H^2+h^2\\ c^2=h^2+(x-H)^2\end{cases}}\)

czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases}10^2=H^2+(x-h)^2\\ 3^2=H^2+h^2\\ 8^2=h^2+(x-H)^2\end{cases}}\)

Kontynuujemy tak jak to przedstawił JHN:
\(\displaystyle{ \begin{cases}100=H^2+(x-h)^2\\ 9=H^2+h^2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 100=9+x^2-2xh}\)
\(\displaystyle{ 91=x^2-2xh}\)
\(\displaystyle{ 2xh=x^2-91}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{x^2-91}{2x}, x^2 \ge 91}\)

Podobnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases}9=H^2+h^2\\ 64=h^2+(x-H)^2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 64=9+x^2-2xH}\)
\(\displaystyle{ 55=x^2-2xH}\)
\(\displaystyle{ 2xH=x^2-55}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{x^2-55}{2x}, x^2 \ge 55}\)

Podstawiamy te dwie uzależnione od \(\displaystyle{ x}\) wartości \(\displaystyle{ h,H}\) pod równanie:
\(\displaystyle{ 9=H^2+h^2}\)
\(\displaystyle{ 9=\left( \frac{x^2-55}{2x} \right)^2 +\left( \frac{x^2-91}{2x} \right)^2}\)
Mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ 4x^2}\) otrzymując:
\(\displaystyle{ 36x^2=\left( x^2-55 \right)^2 +\left( x^2-91 \right)^2}\)
Połóżmy: \(\displaystyle{ z=x^2}\) otrzymując:
\(\displaystyle{ 36z=\left( z-55 \right)^2 +\left( z-91 \right)^2}\)
\(\displaystyle{ 36z=z^2-110z+3025 + z^2-182z+8281}\)
\(\displaystyle{ 0=2z^2-328z+11306}\)
Dzielimy przez dwa (piszę żeby mnie Pan nie oskarżył o okultyzm)
\(\displaystyle{ 0=z^2-164z+5653}\)

Liczymy deltę i wyliczamy możliwe wartości \(\displaystyle{ z}\):
\(\displaystyle{ \Delta = 164^2-4 \cdot 1 \cdot 5653 = 26896 - 22612 = 4284}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{4284} = 6 \sqrt{119}}\)
\(\displaystyle{ z_1 = \frac{164-6 \sqrt{119}}{2} = 82-3 \sqrt{119}}\)
\(\displaystyle{ z_1 = \frac{164+6 \sqrt{119}}{2} = 82+3 \sqrt{119}}\)

Z tego \(\displaystyle{ x^2=82+3 \sqrt{119}}\) (gdyż pierwszy pierwiastek odpada). Takie jest pole kwadratu \(\displaystyle{ A'B'C'D'}\) Zatem pole kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) wynosi \(\displaystyle{ 400}\) razy więcej, czyli: \(\displaystyle{ 400\left( 82+3 \sqrt{119} \right) }\)

Uwaga: \(\displaystyle{ 55^2}\) oraz \(\displaystyle{ 91^2}\) obliczyłem na kalkulatorze, który to jest narzędziem do wykonywania obliczeń więc nie wiem czy uzna Pan powyższą argumentację.

[a4karo]

A czemu pierwszy pierwiastek odpada?

[Tulio]

Bo \(\displaystyle{ x^2 \ge 91}\)