Trzy dowody

[Karolinaa0]

Znajdź trzy różne dowody twierdzenia: Jeśli punkt \(\displaystyle{ E}\) leży na boku \(\displaystyle{ CD}\) prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\), to pole trójkąta \(\displaystyle{ ABE}\) jest połową pola prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) (oprócz dowodu z polem prostokąta i trójkąta, ponieważ ten udało mi się samej zrobić). Z góry bardzo dziękuję.

[Premislav]

Przesuwając położenie punktu \(\displaystyle{ E}\) wzdłuż boku \(\displaystyle{ CD}\), nie zmieniamy wysokości otrzymanego trójkąta opuszczonej na bok \(\displaystyle{ AB}\) z punktu \(\displaystyle{ E}\). Czyli nie zmienia się ani długość podstawy (czyli \(\displaystyle{ AB}\)), ani opuszczonej nań wysokości, a zatem wystarczy rozważyć sytuację, w której punkt \(\displaystyle{ E}\) pokrywa się na przykład z punktem \(\displaystyle{ D}\) (alternatywnie z punktem \(\displaystyle{ C}\)), a wówczas po prostu prostokąt jest podzielony na dwa przystające trójkąty prostokątne.

[a4karo]

Przesuwając trójkąt \(ABE\) równolegle tak, aby \(AB\) przeszedł na \(DC\) widzimy, że \(DE\) jest przekątną nowo powstałego równoległoboku, skąd teza.

[Premislav]

Narysujmy wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ABE}\) opuszczoną z punktu \(\displaystyle{ E}\) na bok \(\displaystyle{ AB}\) i niech \(\displaystyle{ X}\) będzie spodkiem wysokości. Rachunek kątów pokazuje, że trójkąty prostokątne \(\displaystyle{ AXE}\) i \(\displaystyle{ AED}\) są podobne (cecha podobieństwa kąt, kąt, kąt), a że ich przeciwprostokątne są równe, to trójkąty te są przystające. Podobnie z trójkątami \(\displaystyle{ XBE}\) i \(\displaystyle{ BCE}\).
Zatem pole prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) jest równe \(\displaystyle{ S_{AXE}+S_{AED}+S_{XBE}+S_{BCE}=2S_{AXE}+2S_{XBE}=2S_{ABE}}\), co kończy dowód.

[a4karo]

Przesuwając trójkąt \(ABE\) równolegle tak, aby \(AB\) przeszedł na \(DC\) widzimy, że \(DE\) jest przekątną nowo powstałego równoległoboku, skąd teza.

Sorry, przesuwamy \(BCE\) w lewo tak, aby \(BC\) pokrył się z \(AD\)

Dodano po 1 minucie 38 sekundach:

Narysujmy wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ABE}\) opuszczoną z punktu \(\displaystyle{ E}\) na bok \(\displaystyle{ AB}\) i niech \(\displaystyle{ X}\) będzie spodkiem wysokości. Rachunek kątów pokazuje, że trójkąty prostokątne \(\displaystyle{ AXE}\) i \(\displaystyle{ AED}\) są podobne (cecha podobieństwa kąt, kąt, kąt), a że ich przeciwprostokątne są równe, to trójkąty te są przystające. Podobnie z trójkątami \(\displaystyle{ XBE}\) i \(\displaystyle{ BCE}\).
Zatem pole prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) jest równe \(\displaystyle{ S_{AXE}+S_{AED}+S_{XBE}+S_{BCE}=2S_{AXE}+2S_{XBE}=2S_{ABE}}\), co kończy dowód.

Podobieństwo jest zbędne: \(BE\) dzieli na połowy prostokąt \(XBCE\), zaś \(AE\) dzieli na połowy prostokąt \(AXED\)

[Premislav]

Rzeczywiście. Debilizm jest jednak nieuleczalny w niektórych przypadkach. Ja jestem humanistą.