Wyznacz kąty alfa i beta
-
- Użytkownik
- Posty: 3388
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Wyznacz kąty alfa i beta
Mamy rzekę o szerokości \(\displaystyle{ d}\) jak na rysunku. Zakładamy, że rzeka nie płynie. Osoba znajdująca się w punkcie \(\displaystyle{ A}\), zamierza dostać się do punktu \(\displaystyle{ B}\). Osoba biegnie po brzegu z prędkością \(\displaystyle{ V_b}\) i płynie z prędkością \(\displaystyle{ V_r}\). Odległość osoby w punkcie A do rzeki wynosi \(\displaystyle{ y}\). Odległość punktu \(\displaystyle{ B}\) od punktu \(\displaystyle{ D}\) wynosi \(\displaystyle{ x}\). Należy wyznaczyć takie \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\), aby czas przemieszczenia się osoby z punktu \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ B}\) była najmniejsza.
Jak to zrobić? Próbowałem coś liczyć, ale dostaje bardzo trudne rachunki, których nie umiem rozwiązać. Ktoś pomoże?
-
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 1 paź 2015, o 18:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 10 razy
Re: Wyznacz kąty alfa i beta
Witam, dzisiaj przeczytałem treść tego zadania i również napotkałem problem.
Doszedłem do tego, że:
Czas całkowity \(\displaystyle{ t_{c}}\) składa się z:
- czasu na odcinku A \(\displaystyle{ \rightarrow}\) C tj. \(\displaystyle{ t_{b}}\)
- czasu na odcinku C \(\displaystyle{ \rightarrow}\) B tj. \(\displaystyle{ t_{r}}\)
czyli: \(\displaystyle{ t_{c}=t_{b}+t_{r}}\)
Wynika z tego, że możemy rozdzielić to na 2 przypadki, ponieważ \(\displaystyle{ \alpha }\) nie zależy od \(\displaystyle{ \beta }\)
1°
Zajmijmy się odcinkiem A \(\displaystyle{ \rightarrow}\) C:
niech a = długość od A do C
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{y}{a} \Rightarrow a = \frac{y}{\sin \alpha } }\) (1)
\(\displaystyle{ D: \alpha \in \left( 0,90°\right) }\) - jest to wymuszone sumą kątów w trójkącie, dlatego \(\displaystyle{ 90°}\) bo mam już jeden kąt prosty na rysunku
równanie fizyczne opisujące drogę, czas, prędkość: \(\displaystyle{ v _{b} = \frac{a}{ t_{b} } }\) (2)
(1) i (2):
\(\displaystyle{ v_{b} = \frac{y}{t_{b}\sin \alpha } \Rightarrow t_{b} = \frac{y}{ v_{b}\sin \alpha } }\)
niech \(\displaystyle{ f(\sin \alpha )}\) opisuje zależność \(\displaystyle{ \alpha }\) od czasu \(\displaystyle{ t_{b}}\)
pochodna z \(\displaystyle{ f(\sin \alpha )}\):
\(\displaystyle{ f(\sin \alpha )'= -\frac{y\cos \alpha }{v _{b} sin ^{2} \alpha } \\
f(\sin \alpha )'=0 \Rightarrow \frac{\cos \alpha }{\sin ^{2} \alpha }=0 \\
\alpha = \frac{ \pi }{2} = 90° \neq D}\)
Tutaj wychodzi głupota bo \(\displaystyle{ \alpha }\) według założenia nie może równać się \(\displaystyle{ 90°}\). Na razie nie widzę tutaj błędu w moim rozumowaniu
Nie potrafię też połączyć faktu, że mamy dane x
Jedyne z czym mogę to połączyć to:
\(\displaystyle{ x= a^{2}-y ^{2}+b ^{2}-d ^{2} }\)
Całe zadanie przypomina mi lekcje fizyki o promieniu światła załamanym w wodzie.
Z Prawa Snelliusa można zapisać równanie:
\(\displaystyle{ \frac{\sin\left( 90°- \alpha \right) }{\sin\left( 90°- \beta \right) } = \frac{v _{b} }{v _{r} } }\)
Doszedłem do tego, że:
Czas całkowity \(\displaystyle{ t_{c}}\) składa się z:
- czasu na odcinku A \(\displaystyle{ \rightarrow}\) C tj. \(\displaystyle{ t_{b}}\)
- czasu na odcinku C \(\displaystyle{ \rightarrow}\) B tj. \(\displaystyle{ t_{r}}\)
czyli: \(\displaystyle{ t_{c}=t_{b}+t_{r}}\)
Wynika z tego, że możemy rozdzielić to na 2 przypadki, ponieważ \(\displaystyle{ \alpha }\) nie zależy od \(\displaystyle{ \beta }\)
1°
Zajmijmy się odcinkiem A \(\displaystyle{ \rightarrow}\) C:
niech a = długość od A do C
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{y}{a} \Rightarrow a = \frac{y}{\sin \alpha } }\) (1)
\(\displaystyle{ D: \alpha \in \left( 0,90°\right) }\) - jest to wymuszone sumą kątów w trójkącie, dlatego \(\displaystyle{ 90°}\) bo mam już jeden kąt prosty na rysunku
równanie fizyczne opisujące drogę, czas, prędkość: \(\displaystyle{ v _{b} = \frac{a}{ t_{b} } }\) (2)
(1) i (2):
\(\displaystyle{ v_{b} = \frac{y}{t_{b}\sin \alpha } \Rightarrow t_{b} = \frac{y}{ v_{b}\sin \alpha } }\)
niech \(\displaystyle{ f(\sin \alpha )}\) opisuje zależność \(\displaystyle{ \alpha }\) od czasu \(\displaystyle{ t_{b}}\)
pochodna z \(\displaystyle{ f(\sin \alpha )}\):
\(\displaystyle{ f(\sin \alpha )'= -\frac{y\cos \alpha }{v _{b} sin ^{2} \alpha } \\
f(\sin \alpha )'=0 \Rightarrow \frac{\cos \alpha }{\sin ^{2} \alpha }=0 \\
\alpha = \frac{ \pi }{2} = 90° \neq D}\)
Tutaj wychodzi głupota bo \(\displaystyle{ \alpha }\) według założenia nie może równać się \(\displaystyle{ 90°}\). Na razie nie widzę tutaj błędu w moim rozumowaniu
Nie potrafię też połączyć faktu, że mamy dane x
Jedyne z czym mogę to połączyć to:
\(\displaystyle{ x= a^{2}-y ^{2}+b ^{2}-d ^{2} }\)
Całe zadanie przypomina mi lekcje fizyki o promieniu światła załamanym w wodzie.
Z Prawa Snelliusa można zapisać równanie:
\(\displaystyle{ \frac{\sin\left( 90°- \alpha \right) }{\sin\left( 90°- \beta \right) } = \frac{v _{b} }{v _{r} } }\)
Ostatnio zmieniony 27 gru 2019, o 00:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.