Wyznacz kąty alfa i beta

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Wyznacz kąty alfa i beta

Post autor: max123321 »



Mamy rzekę o szerokości \(\displaystyle{ d}\) jak na rysunku. Zakładamy, że rzeka nie płynie. Osoba znajdująca się w punkcie \(\displaystyle{ A}\), zamierza dostać się do punktu \(\displaystyle{ B}\). Osoba biegnie po brzegu z prędkością \(\displaystyle{ V_b}\) i płynie z prędkością \(\displaystyle{ V_r}\). Odległość osoby w punkcie A do rzeki wynosi \(\displaystyle{ y}\). Odległość punktu \(\displaystyle{ B}\) od punktu \(\displaystyle{ D}\) wynosi \(\displaystyle{ x}\). Należy wyznaczyć takie \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\), aby czas przemieszczenia się osoby z punktu \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ B}\) była najmniejsza.

Jak to zrobić? Próbowałem coś liczyć, ale dostaje bardzo trudne rachunki, których nie umiem rozwiązać. Ktoś pomoże?
Fuspepro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 1 paź 2015, o 18:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 10 razy

Re: Wyznacz kąty alfa i beta

Post autor: Fuspepro »

Witam, dzisiaj przeczytałem treść tego zadania i również napotkałem problem.
Doszedłem do tego, że:

Czas całkowity \(\displaystyle{ t_{c}}\) składa się z:
- czasu na odcinku A \(\displaystyle{ \rightarrow}\) C tj. \(\displaystyle{ t_{b}}\)
- czasu na odcinku C \(\displaystyle{ \rightarrow}\) B tj. \(\displaystyle{ t_{r}}\)
czyli: \(\displaystyle{ t_{c}=t_{b}+t_{r}}\)
Wynika z tego, że możemy rozdzielić to na 2 przypadki, ponieważ \(\displaystyle{ \alpha }\) nie zależy od \(\displaystyle{ \beta }\)


Zajmijmy się odcinkiem A \(\displaystyle{ \rightarrow}\) C:

niech a = długość od A do C
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{y}{a} \Rightarrow a = \frac{y}{\sin \alpha } }\) (1)
\(\displaystyle{ D: \alpha \in \left( 0,90°\right) }\) - jest to wymuszone sumą kątów w trójkącie, dlatego \(\displaystyle{ 90°}\) bo mam już jeden kąt prosty na rysunku
równanie fizyczne opisujące drogę, czas, prędkość: \(\displaystyle{ v _{b} = \frac{a}{ t_{b} } }\) (2)

(1) i (2):
\(\displaystyle{ v_{b} = \frac{y}{t_{b}\sin \alpha } \Rightarrow t_{b} = \frac{y}{ v_{b}\sin \alpha } }\)

niech \(\displaystyle{ f(\sin \alpha )}\) opisuje zależność \(\displaystyle{ \alpha }\) od czasu \(\displaystyle{ t_{b}}\)

pochodna z \(\displaystyle{ f(\sin \alpha )}\):
\(\displaystyle{ f(\sin \alpha )'= -\frac{y\cos \alpha }{v _{b} sin ^{2} \alpha } \\
f(\sin \alpha )'=0 \Rightarrow \frac{\cos \alpha }{\sin ^{2} \alpha }=0 \\
\alpha = \frac{ \pi }{2} = 90° \neq D}\)


Tutaj wychodzi głupota bo \(\displaystyle{ \alpha }\) według założenia nie może równać się \(\displaystyle{ 90°}\). Na razie nie widzę tutaj błędu w moim rozumowaniu :idea:

Nie potrafię też połączyć faktu, że mamy dane x
Jedyne z czym mogę to połączyć to:
\(\displaystyle{ x= a^{2}-y ^{2}+b ^{2}-d ^{2} }\)

Całe zadanie przypomina mi lekcje fizyki o promieniu światła załamanym w wodzie.
Z Prawa Snelliusa można zapisać równanie:
\(\displaystyle{ \frac{\sin\left( 90°- \alpha \right) }{\sin\left( 90°- \beta \right) } = \frac{v _{b} }{v _{r} } }\)
Ostatnio zmieniony 27 gru 2019, o 00:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
ODPOWIEDZ