trygonometria w trapezie prostokątnym

[Niepokonana]

Witam
Mamy trapez prostokątny o podstawach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ 2a}\) oraz kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz pozostałe ramiona i pole.
No bo ja mam to rozwiązane, tylko ja nie rozumiem tego rozwiązania.
Jedno z ramion to wysokość trapezu \(\displaystyle{ h}\) a drugie to przeciwprostokątna \(\displaystyle{ c}\). Z kąta rozwartego prowadzimy wysokość \(\displaystyle{ h}\) i mamy prostokąt oraz trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ a}\) oraz przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ c}\).
No i ile wynosi \(\displaystyle{ h}\)? \(\displaystyle{ 2a\cdot\tg \alpha}\). No i ja się pytam dlaczego. Nawet w zbiorze zadań jest tak napisane z tyłu. A przecież ten trójkąt nie ma przyprostokątnej \(\displaystyle{ 2a}\), ma przyprostokątną \(\displaystyle{ a}\). \(\displaystyle{ 2a}\) to jest cała długa podstawa trapezu... Proszę o pomoc, ja mam jutro z tego test (między innymi).

[Jan Kraszewski]

Masz rację. Wysokość to \(\displaystyle{ h=a\tg\alpha.}\)

JK

[Niepokonana]

A no to dziękuję, teraz będę musiała iść do pani i jej to powiedzieć, bo mi rozwiązała to zadanie i też ma źle.

[Jan Kraszewski]

Może przedstaw to rozwiązanie najpierw. Bo to bardzo proste zadanie jest i jakoś nie podejrzewam pomyłki Twojej nauczycielki (błąd w odpowiedziach to akurat mogę spokojnie podejrzewać). Sprawdzimy.

JK

[janusz47]

\(\displaystyle{ a + x = 2a}\)

\(\displaystyle{ x = a. }\)

\(\displaystyle{ \tg(\alpha) = \frac{h}{a} }\)

\(\displaystyle{ h = a\cdot \tg(\alpha). }\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{c} = \cos(\alpha) }\)

\(\displaystyle{ c = \frac{a}{\cos(\alpha)}. }\)

\(\displaystyle{ P = \frac{a +2a}{2} \cdot h = \frac{3}{2}a^2\cdot \tg(\alpha).}\)

[Niepokonana]

Ja już wiem o co chodzi. Kąty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\) są proste \(\displaystyle{ B}\) ostry a \(\displaystyle{ C}\) rozwarty i wysokość z \(\displaystyle{ C}\) kończy się w punkcie \(\displaystyle{ E}\).
Bo pani zrobiła tak, że narysowała przekątną \(\displaystyle{ DB}\) i powstał taki trójką \(\displaystyle{ ABD}\). I pani sobie pomyślała, że kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem tego trójkąta...
\(\displaystyle{ \frac{h}{2a} =\tg\alpha}\)
\(\displaystyle{ h=2a\tg\alpha}\)
Potem pani dorysowała wysokość z kąta \(\displaystyle{ C}\) do punktu \(\displaystyle{ E}\). \(\displaystyle{ CB}\) to jest \(\displaystyle{ c}\).
\(\displaystyle{ h^{2}+a^{2}=c^{2}}\)
\(\displaystyle{ (2a\tg\alpha)^{2}+a^{2}=c^{2}}\)
Po przekształceniu tego wychodzi \(\displaystyle{ c=a \sqrt{4\tg^{2}\alpha+1} }\)
Pole też jakoś pani dziwnie policzyła, bo podzieliła dwa razy przez \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot \frac{a+2a}{2}\cdot 2a\tg\alpha }\) Po przekształceniu tego wyszło pani
\(\displaystyle{ P= \frac{3}{4}a^{2}\tg\alpha }\)

[Jan Kraszewski]

Ja już wiem o co chodzi. Kąty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\) są proste \(\displaystyle{ B}\) ostry a \(\displaystyle{ C}\) rozwarty i wysokość z \(\displaystyle{ C}\) kończy się w punkcie \(\displaystyle{ E}\).

Czyli kluczowe jest ustalenie, który kąt był podany w zadaniu...

Pole też jakoś pani dziwnie policzyła, bo podzieliła dwa razy przez \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot \frac{a+2a}{2}\cdot 2a\tg\alpha }\)

To wygląda na typową pomyłkę.

JK

[Niepokonana]

Kąt ostry trapezu czyli \(\displaystyle{ \alpha}\) to jest kąt między dłuższą podstawą \(\displaystyle{ 2a}\) a bokiem \(\displaystyle{ c}\). W treści zadania nie ma nic o przekątnej trapezu. Ja pani powiem to co Pan i Janusz powiedzieliście.

[Jan Kraszewski]

Jak trapezu, to racja jest po Twojej stronie.

JK

[Niepokonana]

A nie dobra przepraszam, tam jest o dłuższej przekątnej, źle przeczytałam, nieważne już nic.

[Jan Kraszewski]

No widzisz? Musisz czytać uważnie, bo odpowiedzialność za nieuważne przeczytanie treści zadania spada na czytającego...

JK