Długość łuku okręgu

[mati504]

Witam,
Czy jest możliwe aby posiadając długość cięciwy i odległość cięciwy od łuku określić długość tego łuku? Promień jest nieznany, posiadam tylko dane które wymieniłem

[kerajs]

c - długość cięciwy
h - wysokość (strzałka) łuku

Promień łuku:
\(\displaystyle{ R= \frac{h^2+ \frac{c^2}{4} }{2h} }\)
Długość łuku:
\(\displaystyle{ d=2R\arcsin \frac{c}{2R}= \frac{h^2+ \frac{c^2}{4} }{h}\arcsin \frac{hc}{ h^2+ \frac{c^2}{4} }}\)

[kruszewski]

Tak, jest możliwe. Wystarczy zauważyć, że trójkąt (prostokątny) o bokach przyprostokątnych "odległości cięiwy od łuku" i połowy długości cięciwy jest podobny do trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych połowie cięciwy i średnicy okręgu pomniejszonej o "odległości cięiwy od łuku", ale też i trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej równej średnicy okręgu i przyprostokątnej mającej miarę pierwiastka kwadratowego z sumy kwadratów owej "odległości" i połowy cięciwy, oraz to, że miary kątów środkowego i wpisanego opartych na tym samym łuku okręgu są w stosunku do siebie jak \(\displaystyle{ 2 : 1}\)
Wynik tych uwag zapisał p. kerajs post wyżej.