Pole małego kwadratu w zależności od a

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Niepokonana »

Witam
No więc... Narysowano kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku \(\displaystyle{ a}\). Z każdego kąta poprowadzono linię do środka boku przeciwległego boku. \(\displaystyle{ C}\) do \(\displaystyle{ |AD|}\) z \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ |DC|}\), \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ |BC|}\) z \(\displaystyle{ D}\) do \(\displaystyle{ |BA|}\).

W środku powstał mały kwadrat o nazwie \(\displaystyle{ EFGH}\).
a) udowodnij, że \(\displaystyle{ EFGH}\) jest podobny do \(\displaystyle{ ABCD}\).
b) oblicz pole \(\displaystyle{ EFGH}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\).
Pierwszy podpunkt zrobiłam, ale drugiego nie umiem, prosze o pomoc.
Nie wiem, czy da się wstawiać na tym forum obrazki, chyba nie.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Janusz Tracz »

Trochę dziwny ten podpunkt a) bo każde dwa kwadraty zawsze są podobne więc nie ma czego pokazywać.
b) zauważ, że bok małego kwadratu to rzut \(\displaystyle{ \frac{a}{2} }\) na prostą która jest bokiem małego kwadratu. By wyznaczyć długość tego rzutu można pomnożyć \(\displaystyle{ \frac{a}{2} }\) z \(\displaystyle{ \cos }\) kąta jaki tworzą linie dzielące boki na pół z liniami dużego kwadratu. Mamy ostatecznie \(\displaystyle{ \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{ \sqrt{5} }= \frac{a}{ \sqrt{5} } }\) więc pole to \(\displaystyle{ \frac{a^2}{5} }\)

\(\displaystyle{ \cos}\) kąta liczę z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Niepokonana »

Ahh, tak, kwadraty są podobne.
A mógłbyś wyjaśnić dokładniej? O co chodzi z tym rzutem?
EDIT: Ale wynik jak najbardziej poprawny.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Janusz Tracz »

Postępuje tak:
1) Wyznaczam kosinus kąta jaki tworzy odcinek \(\displaystyle{ |AB|}\) oraz odcinek zaczynający się w \(\displaystyle{ A}\) i kończący w środku \(\displaystyle{ |BC|}\). To robię z definicji kosinusa
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{a}{ \sqrt{a^2+ \frac{a^2}{4} } }= \frac{2}{ \sqrt{5} } }\)
2) Wyznaczam bok małego kwadratu jako rzut \(\displaystyle{ \frac{a}{2} }\) na odcinek zaczynający się w \(\displaystyle{ A}\) i kończący w środku \(\displaystyle{ |BC|}\) czyli właśnie \(\displaystyle{ \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{ \sqrt{5} }= \frac{a}{ \sqrt{5} } }\) i to jest bok kwadratu małego.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Niepokonana »

Ok, nie wiem/nie rozumiem, co to jest rzut...
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Janusz Tracz »

zobacz " Interpretacja geometryczna" w tym linku

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_skalarny
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Niepokonana »

Ok, przeczytałam, ale jak się to ma do naszego kwadratu?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Jan Kraszewski »

Janusz Tracz pisze: 27 wrz 2019, o 20:21 zobacz " Interpretacja geometryczna" w tym linku
Hmm... Czy to nie jest ciut zbyt zaawansowane na liceum?

JK
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Niepokonana »

Jan Kraszewski pisze: 27 wrz 2019, o 20:40
Janusz Tracz pisze: 27 wrz 2019, o 20:21 zobacz " Interpretacja geometryczna" w tym linku
Hmm... Czy to nie jest ciut zbyt zaawansowane na liceum?

JK

Zgadzam się, proszę o jakieś prostsze rozwiązanie.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Janusz Tracz »

Czy to nie jest ciut zbyt zaawansowane na liceum?
Mi chodzi tylko o ten mały obrazek z boku. Poza tym to równoważnie można skorzystać z definicji kosinusa jedynie nazwałem to rzutem choć nie musiałem. Więc nie ma tu pojęć innych od poznawanych w 1 i 2 klasie liceum.
Zgadzam się, proszę o jakieś prostsze rozwiązanie.
Proszę nie usprawiedliwiaj nieznajomości definicji kosinusa słowami JK i jeszcze raz przeczytaj ze zrozumieniem co pisałem. W razie pytań precyzyjnie sformuj z czym jest problem. Zrób rysunek i powoli to prześledź bo prawdopodobnie nie rozumiesz też o których odcinkach, kątach itp. mówię.

PS Nie uważam przy tym, że to rozwiązanie jest najlepsze ale jest szybkie.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Niepokonana »

Wiem, co to jest cosinus, ale nie umiem go używać... Na razie mieliśmy tylko definicje cosinusów, w sensie, że to jest taka proporcja, ale nic o rzutach nie miałam.

A poza tym to nie jest z tematu o cosinusach, więc musi być coś prostszego. Proszę.
EDIT:
A dobra, widzę rysunek. Że długość wektora A pomnożona przez cosinus tego dziwnego kąta jest rzutem a na b. Co to jest rzut i jak się ma to do naszego rysunku.
Oczywiście, że mam rysunek, ale w zeszycie.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: kruszewski »

Pan Janusz Tracz pisze:
"Trochę dziwny ten podpunkt a) bo każde dwa kwadraty zawsze są podobne więc nie ma czego pokazywać".
A skąd wiedza, że \(\displaystyle{ EFGH}\) jest kwadratem? Tego trzeba dowieść.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Jan Kraszewski »

kruszewski pisze: 27 wrz 2019, o 22:39 A skąd wiedza, że \(\displaystyle{ EFGH}\) jest kwadratem?
Z treści zadania?
Niepokonana pisze: 27 wrz 2019, o 18:08Narysowano kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku \(\displaystyle{ a}\). Z każdego kąta poprowadzono linię do środka boku przeciwległego boku. \(\displaystyle{ C}\) do \(\displaystyle{ |AD|}\) z \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ |DC|}\), \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ |BC|}\) z \(\displaystyle{ D}\) do \(\displaystyle{ |BA|}\).

W środku powstał mały kwadrat o nazwie \(\displaystyle{ EFGH}\).
No chyba, że treść zadania była inna.

JK
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: kruszewski »

Mam wrażenie, że zdanie :"W środku powstał mały kwadrat o nazwie \(\displaystyle{ EFGH}\) nie jest zdaniem z oryginalnej treści zadania. Stąd dyskutowane polecenie.
A rysunek przypomina rysunek dowodu Bhaskary twierdzenia Pitagorasa.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Post autor: Jan Kraszewski »

kruszewski pisze: 28 wrz 2019, o 00:49 Mam wrażenie, że zdanie :"W środku powstał mały kwadrat o nazwie \(\displaystyle{ EFGH}\) nie jest zdaniem z oryginalnej treści zadania.
Może tak być, ale to pytająca powinna zadbać o przedstawienie dokładnego sformułowania zadania.

JK
ODPOWIEDZ