Triangulacja trójkąta o tej własności - zadanie z Delty

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
glitterfrost
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 19 cze 2018, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Triangulacja trójkąta o tej własności - zadanie z Delty

Post autor: glitterfrost » 12 wrz 2019, o 11:32

Od kiedy zacząłem czytać Delte, zawsze bałem się tych zadań.Jednak dałem im szanse i natrafiłem na kilka trudności.

Triangulacją \(\displaystyle{ n}\)-kąta (niekoniecznie wypukłego) nazywamy podział tego wielokąta na \(\displaystyle{ n− 2 }\) trójkąty przy użyciu pewnej liczby nieprzecinających się przekątnych (które mogą mieć wspólne końce).

A oto treść zadania

Dana jest triangulacja pewnego \(\displaystyle{ n}\)-kąta o tej własności, że w każdym wierzchołku tego trójkąta schodzi się nieparzysta liczba trójkątów tej triangulacji. Wykazać, że \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\).

Po jakimś czasie postanowiłem spojrzeć na rozwiązanie i okazało się, że nie rozumiem paru rzeczy. Oto link do proponowanego rozwiąznia http://www.deltami.edu.pl/temat/matemat ... 1607/?hs=1

Moje pytania
Dlaczego z warunków zadania wynika, że ,,wszystkie boki danego \(\displaystyle{ n}\)-kąta należą do trójkątów triangulacji tego samego koloru''?
Dlaczego ,,każda przekątna triangulacji jest bokiem dokładnie jednego trójkąta czarnego i jednego trójkąta białego"?

Będę bardzo wdzięczny za pomoc. Te ,,deltowe zadania'' wydają się być bardzo ciekawe, ale dużo pracy przede mną, żebym mógł je samodzielnie robić.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

krazi225
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 11 gru 2016, o 23:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Re: Triangulacja trójkąta o tej własności - zadanie z Delty

Post autor: krazi225 » 12 wrz 2019, o 13:48

Narysuj sobie przekątne wychodzące z jednego wierzchołka. Jeśli pokolorujemy trójkąt przy boku z jednej strony wierzchołka, następne kolorujemy naprzemiennie, to że jest ich nieparzyście wiele to ostatni (czyli trójkąt zawierający kolejny bok) będzie w tym samym kolorze co pierwszy, i tak możemy zrobić dla wszystkich par kolejnych boków. Natomiast jeśli chodzi o przekątne to każda jest podstawą dokładnie dwóch trójkątów, stąd to wynika.

ODPOWIEDZ