Odcinki w okręgu wpisanym w kwadrat

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
kuba_am
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 5 wrz 2019, o 15:47
Płeć: Mężczyzna

Odcinki w okręgu wpisanym w kwadrat

Post autor: kuba_am » 5 wrz 2019, o 15:59

Cześć.
Witam serdecznie, to mój pierwszy post na forum, dlatego proszę o wyrozumiałość :).
Niestety nie udało mi się znaleźć w dotychczasowych postach rozwiązania mojego problemu.
Proszę o pomoc w odnalezieniu uniwersalnego wzoru na długość linii zaznaczonych na czerwono na rysunku poniżej.

To wszystkie dane które posiadam, brakuje kąta żeby np. skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.


Awatar użytkownika
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1572
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 380 razy

Re: Odcinki w okręgu wpisanym w kwadrat

Post autor: pesel » 5 wrz 2019, o 18:08

Umieść środek okręgu w początku układu współrzędnych i z równania okręgu policz co tam potrzebujesz.

Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: województwo śląskie
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Odcinki w okręgu wpisanym w kwadrat

Post autor: Thingoln » 5 wrz 2019, o 18:11

Można obliczyć te długości, korzystając z równania okręgu \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = r^2}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest promieniem tego okręgu.
Poprowadźmy osie OX i OY układu współrzędnych przez środek tego okręgu tak, żeby przecinały boki tego kwadratu pod kątem prostym.
Wówczas (ładnie to widać z rysunku), promień okręgu wynosi
\(\displaystyle{ r = \frac{125}{2} = 62,5}\)
A więc równanie tego okręgu w tym przypadku będzie wyglądać tak
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 62,5^2}\)
a więc
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 3906,25}\)
Stąd wynika, że
\(\displaystyle{ x^2 = 3906,25 - y^2}\)
A więc
\(\displaystyle{ |x| = \sqrt{3906,25 - y^2} \ \ (1)}\)
Wówczas \(\displaystyle{ |x|}\) jest wartością bezwzględną argumentu \(\displaystyle{ x}\), dla którego okrąg przybiera pewną wartość \(\displaystyle{ y}\).

Na przykład
Masz zaznaczone na rysunku na niebiesko odcinek o długości 10. A więc (po dorysowaniu osi OX i OY układu współrzędnych tak, jak wyżej), \(\displaystyle{ y}\) wynosiłoby wówczas
\(\displaystyle{ y = r - 10 = 62,5 - 10 = 52,5}\)
Podstawiając do wzoru (1), obliczamy \(\displaystyle{ |x|}\)

\(\displaystyle{ |x| = \sqrt{3906,25 - y^2} = \sqrt{3906,25 - 52,5^2} = \sqrt{62,5^2 - 52,5^2} =}\)
\(\displaystyle{ = \sqrt{(62,5 + 52,5)(62,5 - 52,5)} = \sqrt{115\cdot 10} = \sqrt{1150} = \sqrt{25\cdot 46} = 5 \cdot \sqrt{46}}\)
(można oczywiście po prostu podnieść 52,5 do kwadratu zamiast stosować wzór skróconego mnożenia)

Teraz odejmując od długość promienia wartość \(\displaystyle{ |x|}\), dostajemy odległość tego czerwonego odcinka
\(\displaystyle{ r - |x| = 62,5 - 5 \sqrt{46}}\)
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2019, o 10:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

kuba_am
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 5 wrz 2019, o 15:47
Płeć: Mężczyzna

Re: Odcinki w okręgu wpisanym w kwadrat

Post autor: kuba_am » 9 wrz 2019, o 08:11

@Thingoln serdecznie dziękuję za bardzo wyczerpującą odpowiedź, właśnie czegoś takiego szukałem!!

ODPOWIEDZ