Trapez w kracie
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11378
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Trapez w kracie
Zbadać czy na płaszczyźnie ze standardowym układem współrzędnych istnieje trapez o obu kątach przy jednej z podstaw równych \(\displaystyle{ 60^{o}}\), którego wszystkie wierzchołki maja współrzędne całkowite.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Trapez w kracie
Niech dłuższa podstawa trapezu (odcinek AB) leży na prostej \(\displaystyle{ y=ax}\), a jedno z ramion (odcinek AD) na prostej \(\displaystyle{ y=bx}\). Aby B i D mogły mieć współrzędne całkowite to współczynniki kierunkowe \(\displaystyle{ a,b}\) musza być wymierne.
\(\displaystyle{ a=\tg \alpha \\
b=\tg \left( \alpha +60^{\circ}\right) = \frac{\tg \alpha +\tg 60^{\circ}}{1-\tg \alpha \tg 60^{\circ}}= \frac{a+ \sqrt{3} }{1-\sqrt{3}a }= \frac{4a+\sqrt{3}(1+a^2)}{1-3a^2}=\\= \frac{4a}{1-3a^2}+ \sqrt{3} \cdot \frac{1+a^2}{1-3a^2}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest wymierne (więc B o całkowitoliczbowych współrzędnych istnieje) to \(\displaystyle{ b}\) jest niewymierne (i wtedy D o całkowitoliczbowych współrzędnych nie istnieje). więc nie tylko wskazany trapez, ale i trójkąt równoboczny o całkowitoliczbowych współrzędnych nie istnieje.
\(\displaystyle{ a=\tg \alpha \\
b=\tg \left( \alpha +60^{\circ}\right) = \frac{\tg \alpha +\tg 60^{\circ}}{1-\tg \alpha \tg 60^{\circ}}= \frac{a+ \sqrt{3} }{1-\sqrt{3}a }= \frac{4a+\sqrt{3}(1+a^2)}{1-3a^2}=\\= \frac{4a}{1-3a^2}+ \sqrt{3} \cdot \frac{1+a^2}{1-3a^2}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest wymierne (więc B o całkowitoliczbowych współrzędnych istnieje) to \(\displaystyle{ b}\) jest niewymierne (i wtedy D o całkowitoliczbowych współrzędnych nie istnieje). więc nie tylko wskazany trapez, ale i trójkąt równoboczny o całkowitoliczbowych współrzędnych nie istnieje.