Prostokąt z pewnym punktem P

[xxDorianxx]

Cześć, to nie potrafię uporać się z poniższym zadaniem. Tematyka zadania to Ptolemeusz toteż chcę zobaczyć rozwiazanie przy użyciu tego twierdzenia. Korzystałem z nierówności Ptolemeusza na czworokąty \(\displaystyle{ ABCP}\) i \(\displaystyle{ APCD}\)(chyba nie legitnie tutaj) też z \(\displaystyle{ APBX}\) i \(\displaystyle{ PCYD}\) gdzie \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) to punkty powstała przez symetria \(\displaystyle{ P}\) względem odpowiednio prostej \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\)Za nic nie doliczylem.

Zadanie:Punkt P leży wewnątrz prostokąta ABCD Udowodnić, że pole tego prostokąta jest nie większe od \(\displaystyle{ AP \cdot PC + PB\cdot PD}\)

[janusz47]

Rzutujemy punkt \(\displaystyle{ P}\) na boki prostokąta \(\displaystyle{ AB, BC, CA, AD.}\)

Otrzymujemy odpowiednio punkty \(\displaystyle{ E, F, G, H}\) (rysunek).

Przesuwamy równolegle trójkąt \(\displaystyle{ DPC}\) o wektor \(\displaystyle{ \vec{GE}}\).

Uwzględniamy czworokąt \(\displaystyle{ APBG'}\) o bokach \(\displaystyle{ AP, BP, CP, DP}\) i przekątnych \(\displaystyle{ AB, BD.}\)

Stosujemy do czworokąta \(\displaystyle{ APBG'}\) nierówność Ptomeleusza:

\(\displaystyle{ AB\cdot AD = AB \cdot PG' \leq AP \cdot G'B +BP \cdot G'A = AP \cdot CP + BP \cdot DP.}\)

[matmatmm]

Na boku \(\displaystyle{ CD}\) na zewnątrz prostokąta odłóż trójkąt przystający do \(\displaystyle{ \triange ABP}\).

[janusz47]

Sposób podobny - przesunięcie trójkąta \(\displaystyle{ ABP}\) o wektor \(\displaystyle{ \vec{EG}= - \vec{GE}.}\)