Cześć, to nie potrafię uporać się z poniższym zadaniem. Tematyka zadania to Ptolemeusz toteż chcę zobaczyć rozwiazanie przy użyciu tego twierdzenia. Korzystałem z nierówności Ptolemeusza na czworokąty \(\displaystyle{ ABCP}\) i \(\displaystyle{ APCD}\)(chyba nie legitnie tutaj) też z \(\displaystyle{ APBX}\) i \(\displaystyle{ PCYD}\) gdzie \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) to punkty powstała przez symetria \(\displaystyle{ P}\) względem odpowiednio prostej \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\)Za nic nie doliczylem.
Zadanie:Punkt P leży wewnątrz prostokąta ABCD Udowodnić, że pole tego prostokąta jest nie większe od \(\displaystyle{ AP \cdot PC + PB\cdot PD}\)
Prostokąt z pewnym punktem P
- xxDorianxx
- Użytkownik
- Posty: 413
- Rejestracja: 1 paź 2016, o 17:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rybnik
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 22 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Prostokąt z pewnym punktem P
Rzutujemy punkt \(\displaystyle{ P}\) na boki prostokąta \(\displaystyle{ AB, BC, CA, AD.}\)
Otrzymujemy odpowiednio punkty \(\displaystyle{ E, F, G, H}\) (rysunek).
Przesuwamy równolegle trójkąt \(\displaystyle{ DPC}\) o wektor \(\displaystyle{ \vec{GE}}\).
Uwzględniamy czworokąt \(\displaystyle{ APBG'}\) o bokach \(\displaystyle{ AP, BP, CP, DP}\) i przekątnych \(\displaystyle{ AB, BD.}\)
Stosujemy do czworokąta \(\displaystyle{ APBG'}\) nierówność Ptomeleusza:
\(\displaystyle{ AB\cdot AD = AB \cdot PG' \leq AP \cdot G'B +BP \cdot G'A = AP \cdot CP + BP \cdot DP.}\)
Otrzymujemy odpowiednio punkty \(\displaystyle{ E, F, G, H}\) (rysunek).
Przesuwamy równolegle trójkąt \(\displaystyle{ DPC}\) o wektor \(\displaystyle{ \vec{GE}}\).
Uwzględniamy czworokąt \(\displaystyle{ APBG'}\) o bokach \(\displaystyle{ AP, BP, CP, DP}\) i przekątnych \(\displaystyle{ AB, BD.}\)
Stosujemy do czworokąta \(\displaystyle{ APBG'}\) nierówność Ptomeleusza:
\(\displaystyle{ AB\cdot AD = AB \cdot PG' \leq AP \cdot G'B +BP \cdot G'A = AP \cdot CP + BP \cdot DP.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Prostokąt z pewnym punktem P
Na boku \(\displaystyle{ CD}\) na zewnątrz prostokąta odłóż trójkąt przystający do \(\displaystyle{ \triange ABP}\).