Czy da się rozeznać zmiany kąta podczas ruchu bez czasu?

kluska · Post autor: **kluska** » 25 lip 2019, o 01:10

Punkt \(\displaystyle{ A}\) odcinka \(\displaystyle{ AB}\) długości \(\displaystyle{ b}\), porusza się po okręgu \(\displaystyle{ o(O,r)}\), a punkt \(\displaystyle{ B}\) - po prostej \(\displaystyle{ l}\). Odległość prostej od środka okręgu wynosi \(\displaystyle{ d}\). Oblicz kąt jaki tworzy odcinek \(\displaystyle{ AB}\) z promieniem \(\displaystyle{ AO}\). Nachylenie tego promienia do prostej \(\displaystyle{ m}\) równoległej do \(\displaystyle{ l}\) i przechodzącej przez środek okręgu wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\).
(Podczas ruchu odcinek \(\displaystyle{ AB}\) ma ograniczenie ruchomości względem promienia; \(\displaystyle{ \beta}\) nie może być mniejsze od \(\displaystyle{ \pi}\) tak jak na rysunku)

: AU; q0t5L0c.jpg (14.88 KiB) Przejrzano 206 razy

kerajs · Post autor: **kerajs** » 25 lip 2019, o 08:53

Zakładam że \(\displaystyle{ b<d}\), a szukany kąt \(\displaystyle{ \lambda}\) zależy od kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)

: hyh.png (19.01 KiB) Przejrzano 2198 razy

\(\displaystyle{ d=r\sin\alpha +b\sin \gamma \\
\gamma=\arcsin \frac{d-r\sin\alpha }{b} \\
\\
\lambda= \alpha +\gamma= \alpha +\arcsin \frac{d-r\sin\alpha }{b} \ \ \ \text{dla} \ \
\ \alpha \in \left\langle \alpha _1; \alpha _2\right\rangle}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ \alpha _1=\arcsin \frac{d-b}{r} \\
\alpha _2= \pi -\arcsin \frac{d}{r+b}}\)

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 26 lip 2019, o 05:30

Niekoniecznie musi zachodzić \(\displaystyle{ b< d}\) , po co więc czynić takie założenie?
Równie dobrze \(\displaystyle{ b>d}\) co widać na rysunku.

Warunek konieczny to: \(\displaystyle{ b> (d-r)}\)

kluska · Post autor: **kluska** » 27 lip 2019, o 00:01

Na wstępie bardzo przepraszam, że nie zastosowałam się do wymogów i dziękuję za naniesione poprawki.
Pisząc tego posta byłam już tak zła na ten (jak mi się wydawało) banalny problemik techniczny, że chciałam się jak najszybciej nim podzielić, nie mając doświadczenia we współpracy z Państwa forum. Była już dość późna pora i rozemocjonowana myślałam, że tylko do wzorów matematycznych muszę stosować LaTeX-a.
Bardzo dziękuję wszystkim za zaangażowanie i podjęcie wyzwania.
Niestety, nie do końca jest to rozwiązanie tego wydawałoby się prościutkiego problemu.
Nie został bowiem przewidziany taki etap ruchu, kiedy pewien zakres kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) jest dwukrotnie "przemierzany", a kąt \(\displaystyle{ \beta}\) ciągle rośnie. Inaczej: kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) w początkowej fazie ruchu maleje, a dopiero później rośnie.
Myślę, że najczytelniej przekażą to rysunki, które jutro postaram się zamieścić.
Mam nadzieję, że uda się jednym wzorem opisać mój problem.

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 27 lip 2019, o 07:01

Proponuję zatem sporządzenie rysunku z zaznaczeniem kilku kolejnych położeń końca \(\displaystyle{ B}\) korby w kolejności zajmowania. Np. \(\displaystyle{ B_p, B_1, B_2, .... B_k}\). Gdzie pierwsze jest początkowym a ostatnia końcowym cyklu. Kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) należy odnieść jednej i tej samej osi. Tu najlepiej wzgędem pionowej.-- 27 lip 2019, o 11:28 --"Nie został bowiem przewidziany taki etap ruchu, kiedy pewien zakres kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) jest dwukrotnie "przemierzany", a kąt \(\displaystyle{ \beta}\) ciągle rośnie. Inaczej: kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) w początkowej fazie ruchu maleje, a dopiero później rośnie."
Tu chodzi o położenie korby nad i pod poziomą \(\displaystyle{ m}\) ?

Czy to problem akademicki czy zawodowy, fabryczny?

kluska · Post autor: **kluska** » 28 lip 2019, o 17:11

Przepraszam za tak późne wstawienie obrazka, najazd rodziny zniweczył plany wcześniejszego wstawienia opracowania graficznego tego problemu.
Pod obrazkiem zamieszczę również link do grafiki większej rozdzielczości.

: AU; QJDrNieb.jpg (3.46 KiB) Przejrzano 206 razy

Jak wstawiam link w url to otrzymuje błąd o wielkości obrazka dlatego pozwalam sobie wstawić link bez kodowania. Przepraszam.

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/QJDrNie

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 29 lip 2019, o 02:41

Pan kerajs intuicyjnie wyczuł geometrię mechanizmu przyjmując do rozważań długość korbowodu \(\displaystyle{ b<d}\) .
Odpowiedź autorce pytania, podał kerajs w: 442002.htm#p5585173
Trzeba tylko wykazać, że żądany ruch z poz. 3 do poz. 4 jest możliwy.

kluska · Post autor: **kluska** » 29 lip 2019, o 16:35

Przepraszam, że ponownie zwracam się do Państwa z pytaniem (być może infantylnym ), ale nadal mam wątpliwości, czy wzór podany przez Pana kerajs opisuje fazę startową i pierwszą, gdy punkt \(\displaystyle{ A}\) porusza się w górę do położenia maksymalnego (wtedy odcinek \(\displaystyle{ AB}\) przyjmuje położenie prostopadłe do prostej \(\displaystyle{ m}\) ). Przecież funkcja \(\displaystyle{ arcsin(x)}\) przyjmuje wartości tylko do \(\displaystyle{ \pi /2}\), natomiast \(\displaystyle{ \gamma}\) wydaje się być kątem II ćwiartki (?) ....

: AU; SzzdNddm.jpg (6.78 KiB) Przejrzano 206 razy

: AU; C8xiNGum.jpg (9.29 KiB) Przejrzano 206 razy

kerajs · Post autor: **kerajs** » 29 lip 2019, o 23:06

1) Moja odpowiedź odnosiła się jedynie do tematu i podanej w nim treści. Nie ma tam słowa o tym co powoduje ruch, ani jak się on odbywa. Jedyny problem jaki tam rozwiązywałem to obliczanie kąta BA0 (mniejszego od półpełnego) w zależności od kąta alfa, czyli \(\displaystyle{ \lamba=f( \alpha )}\). Wskazałem tam także dziedzinę tej funkcji.

2) Zakładając że to koło wywołuje ruch układu, to ma on sens od \(\displaystyle{ \alpha_2}\) do \(\displaystyle{ \alpha 1}\) ( czyli od rysunku 6 do 3), i układ zatrzymuje się (i już nie rusza dalej) w pozycji 3.

3)
Ruch od pozycji 1 do 6, lub od 6 do 1 jest możliwy gdy ruch układu wywołuje ruch punktu B. Lecz wtedy kąt alfa, a w konsekwencji kąt lambda jest zależny od położenia punktu B.

Jak widzisz są to trzy różne sytuacje. Może doprecyzujesz co powoduje ruch, w którą stronę się on odbywa i co chcesz policzyć.

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 30 lip 2019, o 02:27

W TMiM układ taki nazywa się mechanizmem korbowo wodzikowym niesymetrycznym, a członem napędzającym jest korba. Ale może być i żerdź \(\displaystyle{ l}\) . Wtedy są dwa położenia skrajne, kóre trzeba "pokonać" oddzielnym działaniem.
Położenie w poz.3 jest położeniem martwym.
Powtórzę pytanie z wcześniejszego listu:
Czy to problem akademicki czy zawodowy, fabryczny?-- 30 lip 2019, o 13:22 --

Pytania do Autorki tematu:
Jak będzie realizowane przesunięcie końca wodzika z punktu \(\displaystyle{ Z'}\) w położenie w pobliżu \(\displaystyle{ M}\) ?
Jak będzie realizowane przesunięcie końca wodzika z położenia w \(\displaystyle{ M}\) do położenia \(\displaystyle{ Z''}\) ?

kluska · Post autor: **kluska** » 30 lip 2019, o 21:15

Przepraszam wszystkich, jeśli moje ujęcie problemu doprowadziło do pewnej dezorientacji.

Sama nie znam szczegółów tego "przedsięwzięcia". Wiem tylko, że w przyszłości ma to być ramię robota, który w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ O}\) będzie miał "zamontowe" silniki wymuszające ruch obiektu umieszczonego w punkcie \(\displaystyle{ B}\) po powierzchni stołu, co zobrazowałam prostą \(\displaystyle{ l}\). Myślę, że ruch będzie odbywał się między najdalszymi wychyleniami składanego ramienia \(\displaystyle{ OB}\).
Uzyskałam informację, że silnik umieszczony w punkcie \(\displaystyle{ B}\) będzie pozwalał wychylić się ramieniu \(\displaystyle{ AB}\) tak, by z promieniem \(\displaystyle{ OA}\) tworzyć granicznie kąt półpełny.
Podjęłam się opisania wzorem matematycznym zależności kąta \(\displaystyle{ \beta}\) od \(\displaystyle{ \alpha}\) w tym ruchu, nie będąc do końca świadoma jak on się odbywa. Chcąc ominąć problem z funkcją \(\displaystyle{ \arcsin (x)}\) doszłam do zależności: \(\displaystyle{ \beta = \frac{3}{2} \pi - \alpha \pm \arccos \frac{d-r\sin \alpha }{b}}\) , ale ciągle nie umiałam ustalić warunku na to by "samoczynnie" następowała zmiana znaku z \(\displaystyle{ " - "}\) na \(\displaystyle{ " + "}\).
Pomyślałam, że element upływającego czasu podczas ruchu mógłby ten problem rozwiązać, stąd tytuł mojego posta, który zamieściłam mając nadzieję, że KTOŚ popatrzy na ten problem świeżym okiem i dostrzeże rozwiązanie, którego ja ciągle nie widzę...

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 31 lip 2019, o 09:31

Problem staje się jaśnieszy, co nie oznacza że prostszy. Wręcz przeciwnie.
Pisze Pani:
- "że w przyszłości ma to być ramię robota, który w punktach A i O będzie miał "zamontowe" silniki wymuszające ruch obiektu umieszczonego w punkcie B po powierzchni stołu, co zobrazowałam prostą l "

Położnie osi korby nad prostą \(\displaystyle{ l}\) sugeruje, że "bark", punkt \(\displaystyle{ O}\) ramienia, znajduje się nad płaszczyzną \(\displaystyle{ \Phi}\) (stołu) w odległości \(\displaystyle{ d}\) od niej, zaś prosta \(\displaystyle{ l}\) nie jest prowadnicą lecz prostoliniowym śladem punktu \(\displaystyle{ B}\) na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \Phi}\) .

Czy tak to będzie "w przyszłości"?

kluska · Post autor: **kluska** » 2 sie 2019, o 22:17

Myślę, że fachowo opisał Pan moje wyobrażenie problemu, który dość nieudolnie opisałam treścią zadania pierwotnego.
Prostoliniowy ślad będzie w moim odczuciu efektem ograniczeń ruchomości ramienia \(\displaystyle{ OA}\) i przedramienia \(\displaystyle{ AB}\) do jednej ( wspólnej) płaszczyzny, dlatego "zakwalifikowałam" ten problem jako planimetryczny, ale może nie jest to dobre zaszeregowanie?
Otrzymałam informację, że "robot" powstaje, czyli jest szansa, że naocznie skoryguję swoją wizję przekazanego mi zadania (szkoda tylko, że teraz będę miała coraz mniej czasu jaki będę mogła poświęcić temu problemowi...).

Matematyka.pl