Zakrycie kilkoma kółkami jednego większego - jak obliczyć cz

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Indzynier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 lip 2019, o 14:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Zakrycie kilkoma kółkami jednego większego - jak obliczyć cz

Post autor: Indzynier »

Po obejrzeniu tego filmiku naszła mnie taka zagwozdka ->

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=EC__aD-orJw
chodzi o tą pierwszą grę z tym kółkiem, że na stole jest przyklejone większe kółko o średnicy: 18 cm i gracz dostaje 5 kółek mniejszych o średnicy: 11 cm i musi zakryć nimi całe większe kółko.

Czy da się jakoś matematycznie obliczyć, że np. przy użyciu 5 kół o tej średnicy da się zakryć całe te pole większego kółka, a np. przy użyciu 4 już się nie da?

Można obliczyć pole zajmowane przez te większe koło, które wynosi \(\displaystyle{ 3.14 \cdot (0.18)^2=0.1017 m^2}\) a pole mniejszego wynosi \(\displaystyle{ 3.14 \cdot (0.11)^2=0.0378 m^2}\), więc teoretycznie przy 3 mniejszych kółkach mamy pole większe od tego dużego, ale wiadomo, że są to koła i część koła będzie wystawała poza te duże koło.

I stąd te pytanie czy istnieje jakaś metoda przy użyciu matematyki, żeby jednoznacznie określić mając podaną średnicę większego koła, średnicę i ilość mniejszych kół, czy da się zasłonić większe koło tymi mniejszymi.

PS: Nie wiem jakiego działu matematyki dotyczy ten problem, dlatego jeśli nie pasuje do tego działu to proszę o przeniesienie.
Ostatnio zmieniony 14 lip 2019, o 20:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Zakrycie kilkoma kółkami jednego większego - jak obliczyć cz

Post autor: kruszewski »

Rysunek powinien wskazać sposób rozwiązania.
Podobnie postępując można znaleźć promienie kół, oczywista, będą innej miary, dla innej ich liczby, np. czterech, o które jest pytanie.
Ukryta treść:    
Indzynier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 lip 2019, o 14:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Zakrycie kilkoma kółkami jednego większego - jak obliczyć cz

Post autor: Indzynier »

kruszewski pisze:Rysunek powinien wskazać sposób rozwiązania.
Podobnie postępując można znaleźć promienie kół, oczywista, będą innej miary, dla innej ich liczby, np. czterech, o które jest pytanie.

Dobrze zrozumiałem dla pięciu kół i na podstawie rysunku wymagany promień dla 5 kół będzie wynosił \(\displaystyle{ r=\frac{\frac{1}{2}R}{\cos{36^{\circ}}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot 18 cm}{\cos{36^{\circ}}}=11.124 cm}\) -> (dobrze wyliczyłem?) -> bo w sumie nie wiem dlaczego przy 11 cm kółkach się udało, ale może nie były dokładnie wycięte.

A jak wygląda sytuacja dla mniejszej liczby kółek 4,3 itd. trzeba wpisać kwadrat do tego większego koła i te 4 koła mają mieć początek w środku tego większego koła i przechodzić przez 2 wierzchołki kwadratu i wtedy będą inne kąty w kole?
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Zakrycie kilkoma kółkami jednego większego - jak obliczy

Post autor: kruszewski »

Szkic:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Zakrycie kilkoma kółkami jednego większego - jak obliczy

Post autor: Gosda »

Bardzo ciekawa stronka w temacie:

W szczególności, zaczynając od \(\displaystyle{ n = 5}\) kółek, mamy niesymetryczne rozwiązania. Na przykład



gdzie pięć kół jednostkowych pokrywa koło o promieniu \(\displaystyle{ r = 1.641...}\).
Indzynier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 lip 2019, o 14:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Zakrycie kilkoma kółkami jednego większego - jak obliczy

Post autor: Indzynier »

Gosda pisze:Bardzo ciekawa stronka w temacie: ://www2.stetson.edu/~efriedma/circovcir/

W szczególności, zaczynając od \(\displaystyle{ n = 5}\) kółek, mamy niesymetryczne rozwiązania.
Teraz już wiem skąd wzięły się te liczby na angielskiej wikipedii ->

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Disk_covering_problem
i dlaczego wyszedł mi dla większego koła o średnicy 18 cm wynik, że mniejsze minimalnie musi mieć 11.12 cm średnicy, bo ten szkic uwzględniał, że koła są rozmieszczone symetrycznie, a optymalnym rozwiązaniem jest niesymetrycznie i w takim przypadku wychodzi \(\displaystyle{ \frac{18}{1.641} \approx 10.97 cm}\) czyli faktycznie mniej niż 11 cm.
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1707
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 412 razy

Zakrycie kilkoma kółkami jednego większego - jak obliczyć cz

Post autor: pesel »

Gosda pisze:W szczególności, zaczynając od \(\displaystyle{ n = 5}\) kółek, mamy niesymetryczne rozwiązania. Na przykład...
Ale to rozwiązanie jest symetryczne.
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Zakrycie kilkoma kółkami jednego większego - jak obliczy

Post autor: Gosda »

Racja: jest symetryczne (osiowo), ale nie tak symetryczne jak rozwiązania z tego tematu, gdzie obrót wokół środka zakrywanego koła o \(\displaystyle{ 2\pi/n}\) nie zmieniał rozłożenia kryjących kół.
ODPOWIEDZ