Znajdź kąt i długości boków.

[Zetorq]

Mamy dany kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\). Na boku \(\displaystyle{ CD}\) wybieramy punkt \(\displaystyle{ E}\).Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie obrazem punktu \(\displaystyle{ C}\) w symetrii osiowej względem prostej \(\displaystyle{ BE}\), niech \(\displaystyle{ X}\) będzie punktem na prostej \(\displaystyle{ AD}\), ale nie na boku \(\displaystyle{ AD}\) , takim że \(\displaystyle{ AX=CE}\) niech \(\displaystyle{ G}\) będzie punktem przecięcia się prostych \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ AD}\) oraz niech \(\displaystyle{ H}\) będzie punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ BE}\) i \(\displaystyle{ AD}\). Udowodnić, że kąt\(\displaystyle{ XBH}\) jest prosty oraz że \(\displaystyle{ GH=GB=GX}\).

Nie umiem udowodnić, że \(\displaystyle{ XBH}\) jest prosty. Brakuje mi kąta \(\displaystyle{ ABX}\). Jakieś pomysły?

[kruszewski]

Wypada pokazać sporządzony rysunek.

[Zetorq]

AU

Z tego widać, że trójkąt \(\displaystyle{ GBH}\) jest równoramienny, a więc otrzymujemy, że \(\displaystyle{ GB=GH}\). Dalej nie wiem jak ruszyć.

[Kfadrat]

\(\displaystyle{ AX = CE}\) oraz \(\displaystyle{ AB = BC}\), co to oznacza dla tych dwóch trójkątów prostokątnych \(\displaystyle{ XBA}\) i \(\displaystyle{ BCE}\)

[Zetorq]

\(\displaystyle{ AX = CE}\) oraz \(\displaystyle{ AB = BC}\), co to oznacza dla tych dwóch trójkątów prostokątnych \(\displaystyle{ XBA}\) i \(\displaystyle{ BCE}\)

Są przystające. Rozwiązane, dzięki.

[kruszewski]

Trzy trójkąty są przystające.

[Zetorq]

Fajna rozkmina. Zgadzam się, że \(\displaystyle{ ABG}\) jest identyczny jak \(\displaystyle{ BCE}\), ale ciekawi mnie jak do tego doszedłeś. Np. skąd wiesz, że \(\displaystyle{ BD}\) to dwusieczna kąta \(\displaystyle{ GBE}\). Czy najpierw policzyłeś i zrobiłeś następnie ten rysunek?

[kruszewski]

Mnie to stwierdzenie nie było potrzebne, ale można zauważyć, że \(\displaystyle{ \Delta EDG}\) jest prostokątny i równoramienny, a przekątna \(\displaystyle{ BD}\) jest prostopadła do jego podstawy i ją połowi . Stąd taki wniosek, że jest symetralną.
Jeżeli mnie pytasz czy coś obliczałem to odpowiadam NIE, nic nie obliczałem. Konstrukcja jest platońska. Liniał (linijka bez podziałki) i cyrkiel.