Dwa kwadraty i trójkąt.

[Zetorq]

Mamy dane dwa kwadraty: Jeden ma wierzchołki kolejno: \(\displaystyle{ ABCD}\), a drugi \(\displaystyle{ DE}\)\(\displaystyle{ FG}\), przy czym \(\displaystyle{ E}\) leży na boku \(\displaystyle{ CD}\), a punkty \(\displaystyle{ A,D,G}\) s¡ą współliniowe. Punkty \(\displaystyle{ G,F}\) leżą poza kwadratem \(\displaystyle{ ABCD}\). Oblicz pole powierzchni trójkąta \(\displaystyle{ BEG}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ |DG|= 6}\).

[janusz47]

Chyba trzeba obliczyć pole trójkąta \(\displaystyle{ B E G B.}\)

Korzystając z własności addytywności miary pola - pole tego trójkąta \(\displaystyle{ P}\) jest sumą pól dwóch trójkątów:

\(\displaystyle{ P_{1}}\) -pola trójkąta zawartego w kwadracie \(\displaystyle{ ABCD}\)

\(\displaystyle{ P_{2}}\) - pola trójkąta zawartego w kwadracie \(\displaystyle{ D E F G}\)

Pola te obliczamy, odejmując:

- od pola kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) pole trójkąta prostokątnego i pole trapezu prostokątnego;

- od pola kwadratu \(\displaystyle{ D E F G}\) pola dwóch trójkątów prostokątnych.

[Zetorq]

Chyba trzeba obliczyć pole trójkąta \(\displaystyle{ B E G B.}\)

Korzystając z własności addytywności miary pola - pole tego trójkąta \(\displaystyle{ P}\) jest sumą pól dwóch trójkątów:

\(\displaystyle{ P_{1}}\) -pola trójkąta zawartego w kwadracie \(\displaystyle{ ABCD}\)

\(\displaystyle{ P_{2}}\) - pola trójkąta zawartego w kwadracie \(\displaystyle{ D E F G}\)

Pola te obliczamy, odejmując:

- od pola kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) pole trójkąta prostokątnego i pole trapezu prostokątnego;

- od pola kwadratu \(\displaystyle{ D E F G}\) pola dwóch trójkątów prostokątnych.

To ja wiem tylko jakiś wskazówek potrzebuję, dopatrzyłem się podobieństwa pewnych trójkątów, ale to za mało.

[Kfadrat]

Dość kłopotliwe będzie wyliczenie pola trapezu oraz jednego z trójkątów prostokątnych (nie będącego połową kwadratu), za to prościej wyliczyć pole całego trójkąta \(\displaystyle{ ABG}\).

Zatem będzie to suma dwóch kwadratów odjąć pola trójkątów \(\displaystyle{ ABG, BCE, EFG}\)

[Zetorq]

Dość kłopotliwe będzie wyliczenie pola trapezu oraz jednego z trójkątów prostokątnych (nie będącego połową kwadratu), za to prościej wyliczyć pole całego trójkąta \(\displaystyle{ ABG}\).

Zatem będzie to suma dwóch kwadratów odjąć pola trójkątów \(\displaystyle{ ABG, BCE, EFG}\)

Jakieś podpowiedzi odnośnie jak się do tego zabrać?

[Kfadrat]

AU

Webp-net-resizeimage.png (33.83 KiB) Przejrzano 173 razy

sorki za taki, a nie inny rysunek, ale na telefonie piszę

Możemy oznaczyć bok drugiego kwadratu przez \(\displaystyle{ a}\), wówczas pole naszego trójkąta, to \(\displaystyle{ ABCD+DEGF-ABG-BCE-EFG}\), gdzie
\(\displaystyle{ ABG = \frac{1}{2} \cdot \left( a+6 \right) \cdot a \\ BCE = \frac{1}{2} \cdot \left( a-6 \right) \cdot a \\ EFG =18}\)

[Zetorq]

Dzięki. Rzeczywiście proste.

[janusz47]

To praktycznie to samo, bo długość odcinka \(\displaystyle{ j}\) możemy obliczyć z podobieństwa trójkątów.Tym samym mamy pole trapezu.