Nierówność z okręgiem

[mol_ksiazkowy]

Na płaszczyźnie jest \(\displaystyle{ n}\) punktów \(\displaystyle{ A_1,...,A_n}\). Udowodnić że na dowolnym okręgu jednostkowych istnieje punkt \(\displaystyle{ B}\) takie że \(\displaystyle{ A_1B+ ...+ A_nB \geq n}\)

[Premislav]

Może to ma jakiś sens, a może nie:
ustalmy punkty \(\displaystyle{ A_1, \ldots A_n}\) płaszczyzny, ustalmy dowolny okrąg jednostkowy \(\displaystyle{ O}\) na tej płaszczyźnie. Wprowadźmy taki układ współrzędnych, by środek okręgu znajdował się w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\). Wtedy okrąg ma równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\). Niech w tym układzie współrzędnych będzie \(\displaystyle{ A_1=(x_1, y_1), \ldots A_n=(x_n, y_n)}\).
Chcemy uzasadnić, że
\(\displaystyle{ \max_{\left\{(x,y)\in \RR^2:x^2+y^2=1\right\}} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2} \ge n}\)
Początkowo myślałem, żeby to pocisnąć z mnożników Lagrange'a, ale nie trzeba:
udowodnimy, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}+\sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\ge 2n}\)
a stąd co najmniej jedna z tych sum jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ n}\).
Z nierówności Minkowskiego dla sum:
\(\displaystyle{ \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\\=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+y_i\right)^2}\\\ge \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i+\frac{1}{\sqrt{2}}+x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i+\frac{1}{\sqrt{2}}+y_i \right)^2 }=2}\)
Dodajemy stronami \(\displaystyle{ n}\) takich nierówności dla \(\displaystyle{ i=1\ldots n}\) i mamy
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}+\sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\ge 2n}\),
czyli
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\ge n \\ \vee \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\ge n}\),
co kończy dowód. Wydaje mi się to jednak zbyt proste. Jak coś zablefowałem, to będę wdzięczny za uświadomienie mi tego.

-- 24 cze 2019, o 12:11 --

Also, jesteśmy niby w dziale „planimetria", więc jeśli ktoś przedstawi dowód geometryczny, to tym fajniej, ja nie mam predyspozycji do geometrii, więc nawet się nie zabieram od tej strony, ale chętnie zobaczę…

[timon92]

niech \(\displaystyle{ BC}\) będzie dowolną średnicą tego okręgu

z nierówności trójkąta jest \(\displaystyle{ A_iB+A_iC\ge BC = 2}\)

zatem \(\displaystyle{ A_1B+A_2B+\ldots+A_nB+A_1C+A_2C+\ldots+A_nC \ge 2n}\)

w takim razie musi zajść przynajmniej jedna z nierówności \(\displaystyle{ A_1B+A_2B+\ldots+A_nB \ge n, \ A_1C+A_2C+\ldots+A_nC\ge n}\)