Nierówność z okręgiem
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11376
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Nierówność z okręgiem
Na płaszczyźnie jest \(\displaystyle{ n}\) punktów \(\displaystyle{ A_1,...,A_n}\). Udowodnić że na dowolnym okręgu jednostkowych istnieje punkt \(\displaystyle{ B}\) takie że \(\displaystyle{ A_1B+ ...+ A_nB \geq n}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Nierówność z okręgiem
Może to ma jakiś sens, a może nie:
ustalmy punkty \(\displaystyle{ A_1, \ldots A_n}\) płaszczyzny, ustalmy dowolny okrąg jednostkowy \(\displaystyle{ O}\) na tej płaszczyźnie. Wprowadźmy taki układ współrzędnych, by środek okręgu znajdował się w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\). Wtedy okrąg ma równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\). Niech w tym układzie współrzędnych będzie \(\displaystyle{ A_1=(x_1, y_1), \ldots A_n=(x_n, y_n)}\).
Chcemy uzasadnić, że
\(\displaystyle{ \max_{\left\{(x,y)\in \RR^2:x^2+y^2=1\right\}} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2} \ge n}\)
Początkowo myślałem, żeby to pocisnąć z mnożników Lagrange'a, ale nie trzeba:
udowodnimy, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}+\sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\ge 2n}\)
a stąd co najmniej jedna z tych sum jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ n}\).
Z nierówności Minkowskiego dla sum:
\(\displaystyle{ \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\\=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+y_i\right)^2}\\\ge \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i+\frac{1}{\sqrt{2}}+x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i+\frac{1}{\sqrt{2}}+y_i \right)^2 }=2}\)
Dodajemy stronami \(\displaystyle{ n}\) takich nierówności dla \(\displaystyle{ i=1\ldots n}\) i mamy
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}+\sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\ge 2n}\),
czyli
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\ge n \\ \vee \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\ge n}\),
co kończy dowód. Wydaje mi się to jednak zbyt proste. Jak coś zablefowałem, to będę wdzięczny za uświadomienie mi tego.
-- 24 cze 2019, o 12:11 --
Also, jesteśmy niby w dziale „planimetria", więc jeśli ktoś przedstawi dowód geometryczny, to tym fajniej, ja nie mam predyspozycji do geometrii, więc nawet się nie zabieram od tej strony, ale chętnie zobaczę…
ustalmy punkty \(\displaystyle{ A_1, \ldots A_n}\) płaszczyzny, ustalmy dowolny okrąg jednostkowy \(\displaystyle{ O}\) na tej płaszczyźnie. Wprowadźmy taki układ współrzędnych, by środek okręgu znajdował się w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\). Wtedy okrąg ma równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\). Niech w tym układzie współrzędnych będzie \(\displaystyle{ A_1=(x_1, y_1), \ldots A_n=(x_n, y_n)}\).
Chcemy uzasadnić, że
\(\displaystyle{ \max_{\left\{(x,y)\in \RR^2:x^2+y^2=1\right\}} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2} \ge n}\)
Początkowo myślałem, żeby to pocisnąć z mnożników Lagrange'a, ale nie trzeba:
udowodnimy, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}+\sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\ge 2n}\)
a stąd co najmniej jedna z tych sum jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ n}\).
Z nierówności Minkowskiego dla sum:
\(\displaystyle{ \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\\=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+y_i\right)^2}\\\ge \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i+\frac{1}{\sqrt{2}}+x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i+\frac{1}{\sqrt{2}}+y_i \right)^2 }=2}\)
Dodajemy stronami \(\displaystyle{ n}\) takich nierówności dla \(\displaystyle{ i=1\ldots n}\) i mamy
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}+\sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\ge 2n}\),
czyli
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\ge n \\ \vee \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-x_i\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-y_i\right)^2}\ge n}\),
co kończy dowód. Wydaje mi się to jednak zbyt proste. Jak coś zablefowałem, to będę wdzięczny za uświadomienie mi tego.
-- 24 cze 2019, o 12:11 --
Also, jesteśmy niby w dziale „planimetria", więc jeśli ktoś przedstawi dowód geometryczny, to tym fajniej, ja nie mam predyspozycji do geometrii, więc nawet się nie zabieram od tej strony, ale chętnie zobaczę…
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: Nierówność z okręgiem
niech \(\displaystyle{ BC}\) będzie dowolną średnicą tego okręgu
z nierówności trójkąta jest \(\displaystyle{ A_iB+A_iC\ge BC = 2}\)
zatem \(\displaystyle{ A_1B+A_2B+\ldots+A_nB+A_1C+A_2C+\ldots+A_nC \ge 2n}\)
w takim razie musi zajść przynajmniej jedna z nierówności \(\displaystyle{ A_1B+A_2B+\ldots+A_nB \ge n, \ A_1C+A_2C+\ldots+A_nC\ge n}\)
z nierówności trójkąta jest \(\displaystyle{ A_iB+A_iC\ge BC = 2}\)
zatem \(\displaystyle{ A_1B+A_2B+\ldots+A_nB+A_1C+A_2C+\ldots+A_nC \ge 2n}\)
w takim razie musi zajść przynajmniej jedna z nierówności \(\displaystyle{ A_1B+A_2B+\ldots+A_nB \ge n, \ A_1C+A_2C+\ldots+A_nC\ge n}\)