Prostopadłe Cięciwy

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) będą prostopadłymi cięciwami okręgu jednostkowego. Jaki zakres wartości może przyjąć wyrażenie \(\displaystyle{ AC^2+ BD^2}\) ?

[matmatmm]

Niech \(\displaystyle{ S}\) oznacza punkt przecięcia cięciw \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) oraz \(\displaystyle{ R}\) oznacza promień.
Udowodnij najpierw, że

\(\displaystyle{ AS\cdot CS=BS\cdot DS}\)
\(\displaystyle{ AD^2+BC^2=4R^2}\)
\(\displaystyle{ AS\cdot CS\leq \left( \frac{1}{2}AC\right)^2\leq R^2}\)

Następnie mamy
\(\displaystyle{ AC^2+BD^2=(AS+CS)^2+(BS+DS)^2=AS^2+2AS\cdot CS+CS^2+BS^2+2BS\cdot DS+DS^2=AD^2+BC^2+4AS\cdot CS=4R^2+4AS\cdot CS\leq 4R^2+4R^2=8R^2}\)

Pozostaje sprawdzić, że wszystkie wartości ze zbioru \(\displaystyle{ (4R^2,8R^2]}\) są przyjęte.

[kruszewski]

Mogę poprosić o szkic okręgu i cięciw?

[matmatmm]

Teraz widzę, że rozwiązałem inne zadanie, bo założyłem, że cięciwy \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) są prostopadłe (\(\displaystyle{ S}\) jes punktem przecięcia tych cięciw). W przypadku oryginalnego zadania wartość może być tylko jedna i jest równa \(\displaystyle{ 4R^2}\).

[kruszewski]

Kolega mol_ksiazkowy napisał:
"Niech \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) będą prostopadłymi cięciwami okręgu jednostkowego. Jaki zakres wartości może przyjąć wyrażenie \(\displaystyle{ AC^2+ BD^2}\) ? " (moje podkreślenie).

Zatem prostopadłość cięciw jest zadana i nie potrzeba jej zakładać.
Prośbę o szkic i oznaczenia pozwolę sobie ponowić.

[matmatmm]

Ja założyłem, że \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) są prostopadłe, nie \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\).

Kod: Zaznacz cały

https://ifotos.pl/z/qsxeqww/