Witam
Czy mógłby ktoś zamieścić (lub dać wskazówke) dowód twierdzenia które mówi że jeżeli w czworkącie \(\displaystyle{ ABCD}\) punkt \(\displaystyle{ S}\) jest punktem przecięcia się przekątnych to zachodzi równość \(\displaystyle{ ABS \cdot CDS=BCS \cdot DAS.}\)
Iloczyny naprzeciwległych pól w czworokącie
Iloczyny naprzeciwległych pól w czworokącie
Ostatnio zmieniony 25 maja 2019, o 17:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Iloczyny naprzeciwległych pól w czworokącie
Ale obydwa te iloczyny są równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}AS\cdot BS \cdot CS \cdot DS \cdot\sin^2\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem między przekątnymi.
Oczywiście potrzebne jest założenie, że czworokąt jest wypukły. W przeciwnym razie przekątne się nie przecinają.
Oczywiście potrzebne jest założenie, że czworokąt jest wypukły. W przeciwnym razie przekątne się nie przecinają.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Re: Iloczyny naprzeciwległych pól w czworokącie
Musi być to w czworokącie wypukłym.
Można także po prostu popatrzeć ze zwyczajnej perspektywy podstawy i wysokości - jeśli opuścimy na przekątną \(\displaystyle{ BD}\) wysokości \(\displaystyle{ h_1}\) i \(\displaystyle{ h_2}\), odpowiednio z punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\), to oba iloczyny są równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}BS \cdot h_1 \cdot DS \cdot h_2}\) - zatem są równe.
P.S. Jak widać po powyższym rozumowaniu, wykorzystaliśmy jedynie to, że \(\displaystyle{ BD}\) jest przekątną. Rozumowanie też jest więc prawdziwe dla jednej przekątnej (np. \(\displaystyle{ BD}\)) i dowolnego punktu \(\displaystyle{ S}\) na tej przekątnej.
To zadanie się często pojawia na "kangurach" - mając trzy spośród tych pól, wyznacz czwarte
Można także po prostu popatrzeć ze zwyczajnej perspektywy podstawy i wysokości - jeśli opuścimy na przekątną \(\displaystyle{ BD}\) wysokości \(\displaystyle{ h_1}\) i \(\displaystyle{ h_2}\), odpowiednio z punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\), to oba iloczyny są równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}BS \cdot h_1 \cdot DS \cdot h_2}\) - zatem są równe.
P.S. Jak widać po powyższym rozumowaniu, wykorzystaliśmy jedynie to, że \(\displaystyle{ BD}\) jest przekątną. Rozumowanie też jest więc prawdziwe dla jednej przekątnej (np. \(\displaystyle{ BD}\)) i dowolnego punktu \(\displaystyle{ S}\) na tej przekątnej.
To zadanie się często pojawia na "kangurach" - mając trzy spośród tych pól, wyznacz czwarte